Física con Zeuss

Intensivo PAES M1 · Semanas 6 y 7

Capítulo 22 · Suma y Producto de Probabilidades

Segunda parte del capítulo: cuándo sumar y cuándo multiplicar, eventos excluyentes, independientes y dependientes, y probabilidad condicional.

Volver a los ejemplos 1 al 8 Regla de Laplace y espacios muestrales, con el desarrollo paso a paso.

2. Suma y producto de probabilidades

a. Suma de probabilidades

La suma corresponde a la palabra "o": que ocurra A o que ocurra B. Antes de sumar hay que decidir si los eventos pueden ocurrir al mismo tiempo.

i. Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, no tienen elementos comunes.

\[P(A \text{ o } B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

Ejemplo del texto. Al lanzar un dado, ¿probabilidad de que salga el número 5 o un número par?

\(\{5\}\) y \(\{2,4,6\}\) no tienen elementos comunes:

\[P(5 \text{ o par})=\frac16+\frac36=\frac46\]
Diagrama de Venn en el espacio muestral E. El conjunto A contiene el 5 y el conjunto B contiene el 2, el 4 y el 6. La intersección está vacía y fuera de ambos círculos quedan el 3 y el 1.
Los conjuntos son mutuamente excluyentes: no hay elementos que estén en ambos a la vez.

ii. Eventos no mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son no mutuamente excluyentes si pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, tienen elementos comunes.

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Se resta \(P(A\cap B)\), la probabilidad de que ocurra lo común entre A y B, para no contarlo dos veces.

Ejemplo del texto. Al lanzar un dado, ¿probabilidad de que salga un número primo o un número par?

Primos \(=\{2,3,5\}\), pares \(=\{2,4,6\}\). El 2 está en ambos conjuntos:

\[P(\text{primo o par})=\frac36+\frac36-\frac16=\frac56\]
Diagrama de Venn en el espacio muestral E. El conjunto A de los primos contiene el 3 y el 5, el conjunto B de los pares contiene el 4 y el 6, y en la intersección está el 2. Fuera de ambos círculos queda el 1.
El 2 pertenece a ambos conjuntos: por eso hay que restarlo una vez.

b. Producto de probabilidades

El producto corresponde a la palabra "y": que ocurra A y también B. Antes de multiplicar hay que decidir si el primer evento modifica al segundo.

i. Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye sobre la ocurrencia del otro.

\[P(A \text{ y } B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]

Ejemplo del texto. Se lanza dos veces un dado. ¿Probabilidad de que salga primero un número par y luego un número primo?

\[P=\frac36\cdot\frac36=\frac12\cdot\frac12=\frac14\]

ii. Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno influye sobre la del otro, modificando el espacio muestral.

\[P(A \text{ y } B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)\]

Es decir, la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B asumiendo que A ya ocurrió.

Para calcular \(P(B/A)\) hay que tener en cuenta que, como A se da por hecho, el espacio muestral ya no es el del experimento completo sino el que queda acotado por la ocurrencia de A. Los casos posibles (denominador) son los que quedan después de que ocurrió A, y los casos favorables (numerador) son los correspondientes a B dentro de ese espacio restringido.

Cómo reconocerlos en el enunciado "Con reposición" o "se devuelve a la caja" → independientes, el total no cambia.
"Sin reposición", "no la regresa", "sucesivamente" → dependientes, el total baja en 1 en cada extracción.
EjEjemplos del texto sobre eventos dependientes

a) Urna con 8 bolitas verdes y 5 amarillas, dos extracciones sin reposición. b) Un dado del que se sabe que salió par: ¿probabilidad de que fuera un 4?

Eventos dependientes y probabilidad condicional

Ejemplo 1: 8 bolitas verdes y 5 amarillas, sin reponer la primera

Total inicial: \(8+5 = 13\) bolitas.

a) Primero una verde y luego una amarilla

Para la segunda extracción hay que asumir que ya se sacó una verde: quedan 12 bolitas en total, 7 verdes y 5 amarillas.

\[P(V \text{ y } A)=P(V)\cdot P(A/V)=\frac{8}{13}\cdot\frac{5}{12}\]
b) Una verde y una amarilla, sin especificar el orden

Al no especificar el orden hay dos posibilidades: verde y luego amarilla, o amarilla y luego verde. Se suman:

\[P=\frac{8}{13}\cdot\frac{5}{12}+\frac{5}{13}\cdot\frac{8}{12}=\frac{8}{13}\cdot\frac{5}{12}\cdot 2\]
c) Dos bolitas verdes

Tras sacar una verde quedan 12 bolitas, de las cuales 7 son verdes:

\[P(V \text{ y } V)=\frac{8}{13}\cdot\frac{7}{12}\]

Ejemplo 2: probabilidad condicional pura

Juan lanzó un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un 4, si se sabe que el resultado fue par?

Como ya se sabe que el valor es par, el espacio muestral deja de ser \(\{1,2,3,4,5,6\}\) y pasa a ser \(\{2,4,6\}\): ya no hay 6 casos totales, sino 3.

\[P(4/\text{par})=\frac{1}{3}\]
La idea central Una probabilidad condicional no cambia los casos favorables: cambia el denominador. El espacio muestral se achica a lo que ya se sabe.
Ir a los ejemplos 9 al 20 Doce preguntas DEMRE de suma y producto de probabilidades, con el desarrollo completo paso a paso. Volver a los ejemplos 1 al 8 Regla de Laplace y espacios muestrales, con el desarrollo paso a paso. Volver a Probabilidad básica Primera parte del capítulo.