Física con Zeuss

Intensivo PAES · Anexo opcional para M2

Ejemplos resueltos · Medidas de dispersión

Ocho preguntas liberadas DEMRE sobre desviación estándar y varianza. Contenido exclusivo de la prueba M2 (opcional): no entra en las evaluaciones formativas 1 y 2 del capítulo 21.

Volver al anexo de medidas de dispersión Fórmulas y propiedades de la desviación estándar y la varianza.

Ejemplos 13 a 20

Estos ejercicios son opcionales. Miden desviación estándar, varianza y coeficiente de variación, contenidos exclusivos de la Competencia Matemática M2.
13Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2026)

Considera los datos 4, 8, 5, \(p\) y \(q\), cuyo promedio es 5. ¿Cuál de las siguientes condiciones permite asegurar que su desviación estándar es menor que 5?

  • A) \(p = q\)
  • B) \(pq < 100\)
  • C) \(p + q = 8\)
  • D) \(p < 8 - q\)

Ejemplo 13 · Qué condición asegura \(\sigma < 5\)

Paso 1. Usar el promedio

Con \(n=5\) y promedio 5, la suma de los datos es 25:

\[4+8+5+p+q = 25 \;\Longrightarrow\; p+q = 8\]

Ojo: esto ya es consecuencia del enunciado, así que la alternativa C no agrega ninguna información nueva.

Paso 2. Escribir la condición sobre \(\sigma\) \[\sigma^2=\frac{(4-5)^2+(8-5)^2+(5-5)^2+(p-5)^2+(q-5)^2}{5}=\frac{10+(p-5)^2+(q-5)^2}{5}\]

Pedir \(\sigma < 5\) equivale a pedir \(\sigma^2 < 25\):

\[10+(p-5)^2+(q-5)^2 < 125 \;\Longrightarrow\; (p-5)^2+(q-5)^2 < 115\]
Paso 3. Probar la alternativa A

Si \(p=q\), junto con \(p+q=8\) queda \(p=q=4\). Los datos son 4, 8, 5, 4, 4:

\[\sigma^2=\frac{1+9+0+1+1}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4 \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\sqrt{2{,}4}\approx 1{,}55\]

Es menor que 5, y además el valor queda completamente determinado: la condición asegura el resultado.

Por qué las otras no aseguran nada
  • B) \(pq < 100\): tomemos \(p=14\) y \(q=-6\). Se cumple \(p+q=8\) y \(pq=-84 < 100\), pero \((p-5)^2+(q-5)^2 = 81+121 = 202\), con lo que \(\sigma \approx 6{,}5 > 5\). Un solo contraejemplo basta para descartarla.
  • C) \(p+q=8\): siempre se cumple, y el mismo contraejemplo anterior muestra que no garantiza \(\sigma < 5\).
  • D) \(p < 8-q\): equivale a \(p+q < 8\), que contradice lo que ya sabemos. La condición es imposible.

Alternativa correcta: A) \(p = q\)
14Habilidad: Modelar. (DEMRE 2025)

Se define el coeficiente de variación \(C_v\) de un grupo de datos como \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}}\), tal que \(\sigma\) es la desviación estándar y \(\bar{x}\) es el promedio del grupo de datos. ¿Cuál es el coeficiente de variación del grupo de datos formado por los números 2, 3 y 7?

  • A) \(\dfrac{\sqrt{14}}{4}\)
  • B) \(\dfrac{14}{4}\)
  • C) \(\dfrac{\sqrt{14}}{4\cdot\sqrt{3}}\)
  • D) \(\dfrac{14}{12}\)

Ejemplo 14 · Coeficiente de variación

Paso 1. Calcular el promedio \[\bar{x}=\frac{2+3+7}{3}=\frac{12}{3}=4\]
Paso 2. Calcular la desviación estándar

Las desviaciones respecto de 4 son \(-2,\,-1,\,3\):

\[\sigma=\sqrt{\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(7-4)^2}{3}}=\sqrt{\frac{4+1+9}{3}}=\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}\]
Paso 3. Dividir \[C_v=\frac{\sigma}{\bar{x}}=\frac{\;\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}\;}{4}=\frac{\sqrt{14}}{4\cdot\sqrt{3}}\]

Numéricamente, \(C_v \approx \dfrac{3{,}74}{6{,}93}\approx 0{,}54\).

Por qué se descartan las otras
  • A) olvida el \(\sqrt{3}\) del denominador de \(\sigma\), como si la varianza fuera 14 en vez de \(\tfrac{14}{3}\).
  • B) y D) no aplican la raíz cuadrada: entregan la varianza dividida por el promedio, no la desviación estándar.
Para qué sirve el coeficiente de variación Es una medida de dispersión relativa: permite comparar la variabilidad de grupos con promedios muy distintos, porque expresa la desviación como una fracción del promedio.

Alternativa correcta: C) \(\dfrac{\sqrt{14}}{4\cdot\sqrt{3}}\)
15Habilidad: Modelar.

¿En cuál de los siguientes gráficos la media es igual a 4 y la varianza es distinta de 0?

  • A) Frecuencia 4 1234567 Datos
  • B) Frecuencia 23 1234567 Datos
  • C) Frecuencia 1 1234567 Datos
  • D) Frecuencia 4 1234567 Datos

Ejemplo 15 · Dos condiciones a la vez

Paso 1. Traducir la segunda condición

La varianza es 0 solo cuando todos los datos son iguales. Pedir varianza distinta de 0 significa entonces que el gráfico debe tener más de una barra. Eso descarta D de inmediato.

Paso 2. Calcular la media de cada gráfico
Alt.Datos y frecuenciasMediaVarianza
A3, 4 y 5 con frecuencia 4 cada uno\(\frac{12+16+20}{12}=\frac{48}{12}=4\) ✓\(\ne 0\) ✓
B3 con frecuencia 3; 5 con frecuencia 2\(\frac{9+10}{5}=3{,}8\) ✗—
C2, 3, 4 y 5 con frecuencia 1\(\frac{2+3+4+5}{4}=3{,}5\) ✗—
Dsolo el 4, con frecuencia 4\(4\) ✓\(=0\) ✗
Paso 3. Verificar A

Los datos son 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. La media es 4 y la distribución es simétrica en torno a ese valor:

\[\sigma^2=\frac{4(3-4)^2+4(4-4)^2+4(5-4)^2}{12}=\frac{4+0+4}{12}=\frac{2}{3}\]

Distinta de cero, como se pedía.

La trampa de esta pregunta D cumple la condición que salta a la vista (media 4) pero falla en la otra. Cuando un enunciado pide dos condiciones, conviene partir por la que descarta más rápido.

Alternativa correcta: A)
16Habilidad: Resolver Problemas. (Adaptación DEMRE 2024)

Considera los datos \(g_1, g_2, g_3, g_4\) y \(g_5\) iguales entre sí. ¿Cuál es la desviación estándar de los datos \(g_1-2,\; g_2-2,\; g_3,\; g_4+1\) y \(g_5+3\)?

  • A) \(\dfrac{18}{5}\)
  • B) \(\dfrac{8}{5}\)
  • C) \(3\cdot\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)
  • D) \(2\cdot\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)

Ejemplo 16 · Datos iguales que se desplazan

Paso 1. Ponerle nombre al valor común

Como los cinco datos son iguales entre sí, llamemos \(g\) a ese valor. Los nuevos datos son:

\[g-2,\quad g-2,\quad g,\quad g+1,\quad g+3\]
Paso 2. Calcular el nuevo promedio \[\bar{x}=\frac{(g-2)+(g-2)+g+(g+1)+(g+3)}{5}=\frac{5g+0}{5}=g\]

Los ajustes se cancelan entre sí (\(-2-2+0+1+3=0\)), así que el promedio sigue siendo \(g\). Esto es lo que hace que la incógnita desaparezca.

Paso 3. Calcular la desviación estándar

Cada desviación respecto del promedio es justamente el ajuste aplicado:

\[\sigma=\sqrt{\frac{(-2)^2+(-2)^2+0^2+1^2+3^2}{5}}=\sqrt{\frac{4+4+0+1+9}{5}}=\sqrt{\frac{18}{5}}\]
Paso 4. Llevarlo a la forma de las alternativas \[\sqrt{\frac{18}{5}}=\sqrt{9\cdot\frac{2}{5}}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}=3\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}\]

Numéricamente, \(\approx 1{,}90\).

Por qué se descartan las otras
  • A) \(\tfrac{18}{5}\): es la varianza, no la desviación estándar. Le falta la raíz.
  • D) \(2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\): equivale a \(\sqrt{\tfrac{8}{5}}\), como si la suma de los cuadrados fuera 8 en vez de 18.
  • B) \(\tfrac{8}{5}\): suma los ajustes en valor absoluto sin elevarlos al cuadrado.

Alternativa correcta: C) \(3\cdot\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)
17Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2023)

En una competencia, las normas indican que las puntuaciones recibidas por los participantes se calcularán de la siguiente forma:

  • cada uno de los 5 jueces dará un puntaje entre 1 y 20;
  • para estos 5 puntajes se calculará el promedio \(\bar{x}\) y desviación estándar \(\theta\);
  • se eliminarán aquellos puntajes que no estén entre \(\bar{x}-\theta\) y \(\bar{x}+\theta\);
  • se calculará nuevamente el promedio, pero solo con los puntajes que estén entre \(\bar{x}-\theta\) y \(\bar{x}+\theta\), el cual corresponde al puntaje final del participante.

Si los jueces evalúan a Gabriel con 6, 8, 12, 9 y 15 puntos, ¿cuál es el puntaje final obtenido por Gabriel?

  • A) 10 puntos.
  • B) \(\dfrac{35}{4}\) puntos.
  • C) \(\dfrac{29}{3}\) puntos.
  • D) \(\dfrac{21}{2}\) puntos.

Ejemplo 17 · Filtrar por un intervalo de una desviación

Paso 1. Promedio de los cinco puntajes \[\bar{x}=\frac{6+8+12+9+15}{5}=\frac{50}{5}=10\]
Paso 2. Desviación estándar

Las desviaciones respecto de 10 son \(-4,\,-2,\,2,\,-1,\,5\):

\[\theta=\sqrt{\frac{16+4+4+1+25}{5}}=\sqrt{\frac{50}{5}}=\sqrt{10}\approx 3{,}16\]
Paso 3. Construir el intervalo de corte \[[\,\bar{x}-\theta\;,\;\bar{x}+\theta\,]=[\,10-3{,}16\;,\;10+3{,}16\,]\approx[\,6{,}84\;,\;13{,}16\,]\]
Paso 4. Decidir qué puntajes sobreviven
Puntaje¿Está en [6,84 ; 13,16]?
6No — queda bajo el límite inferior
8Sí
12Sí
9Sí
15No — supera el límite superior

Se eliminan el 6 y el 15, que son justamente el puntaje más bajo y el más alto.

Paso 5. Nuevo promedio con los tres restantes \[\text{Puntaje final}=\frac{8+12+9}{3}=\frac{29}{3}\approx 9{,}67\]
Por qué se descartan las otras
  • A) 10: es el promedio original, sin aplicar el filtro.
  • B) \(\tfrac{35}{4}\): promedia cuatro puntajes, como si solo se eliminara el 15.
  • D) \(\tfrac{21}{2}\): promedia solo dos valores.

Alternativa correcta: C) \(\dfrac{29}{3}\) puntos.
18Habilidad: Argumentar. (DEMRE 2023)

El curso A tiene un promedio en biología de 5,8 y una desviación estándar de 0,2 y el curso B tiene un promedio de 5,8 y una desviación estándar de 0,4, tal que las notas van desde 1,0 a 7,0. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

  • A) Las notas en ambos cursos son iguales.
  • B) La mayoría de las notas en ambos cursos fue de un 5,8.
  • C) En el curso A hubo por lo menos un 6,0 y en el curso B hubo por lo menos un 6,2.
  • D) Las notas del curso A presentan menor dispersión que las notas del curso B.

Ejemplo 18 · Qué significa realmente la desviación estándar

Paso 1. Ordenar los datos del enunciado
CursoPromedioDesviación estándar
A5,80,2
B5,80,4

Mismo centro, distinta dispersión. Nota que no se sabe cuántos estudiantes hay ni cuáles son las notas individuales.

Paso 2. Revisar cada afirmación

A) Dos cursos pueden compartir promedio y aun así tener notas completamente distintas. De hecho, si las notas fueran iguales en ambos, las desviaciones también lo serían, y aquí son 0,2 y 0,4. Falsa.

B) El promedio no dice nada sobre cuál nota se repite más: eso sería la moda. Un curso con notas 5,6 y 6,0 tiene promedio 5,8 sin que nadie haya sacado 5,8. Falsa.

C) La desviación estándar es un promedio de distancias, no una garantía de que exista un dato en un valor puntual. El curso A podría tener todas sus notas entre 5,6 y 5,9 y cumplir igual con \(\sigma=0{,}2\). Falsa.

D) Una desviación estándar más pequeña significa, por definición, que los datos se alejan menos del promedio. Como \(0{,}2 < 0{,}4\), el curso A está menos disperso. Siempre verdadera.

Idea para la clase Con el mismo promedio, la desviación estándar es lo único que distingue a los dos cursos: A tiene notas apretadas en torno al 5,8 y B las tiene más repartidas. Eso es todo lo que se puede afirmar con certeza.

Alternativa correcta: D) Las notas del curso A presentan menor dispersión que las del curso B.
19Habilidad: Representar. (DEMRE 2023)

Considera los datos de los grupos 1 y 2 de la siguiente tabla:

Grupo 1\(p\)\(q\)\(r\)
Grupo 2\(p-1\)\(q\)\(r+1\)

Si \(p < q < r\), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

  • A) La desviación estándar del grupo 1 es mayor que la del grupo 2.
  • B) Ambos grupos tienen igual desviación estándar.
  • C) La diferencia entre el mayor y menor valor en ambos grupos es el mismo.
  • D) En ambos casos la desviación estándar es mayor que cero.

Ejemplo 19 · Comparar dispersión con literales

Paso 1. Entender qué le pasó al grupo 2

El grupo 2 se obtiene del grupo 1 bajando el menor valor en 1 y subiendo el mayor en 1. El del medio no cambia. Es decir, los datos del grupo 2 están más separados entre sí.

Además, el promedio no cambia, porque \(-1\) y \(+1\) se cancelan.

Paso 2. Revisar cada afirmación

A) Es al revés: al alejar los extremos, el grupo 2 queda más disperso, así que \(\sigma_2 > \sigma_1\). Falsa.

B) Tampoco: las desviaciones son distintas, justamente porque los extremos se movieron. Falsa.

C) Recorrido del grupo 1: \(r-p\). Recorrido del grupo 2:

\[(r+1)-(p-1)=r-p+2\]

El del grupo 2 es 2 unidades mayor. Falsa.

D) La desviación estándar vale cero solo si todos los datos son iguales. En el grupo 1 se cumple \(p < q < r\), así que son distintos. En el grupo 2 se cumple \(p-1 < q < r+1\), que también son distintos. En ambos casos \(\sigma > 0\). Siempre verdadera.

Verificación con números Tomemos \(p=2,\ q=4,\ r=6\). Grupo 1: 2, 4, 6 con \(\sigma=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx 1{,}63\). Grupo 2: 1, 4, 7 con \(\sigma=\sqrt{\tfrac{18}{3}}\approx 2{,}45\). Se confirma que \(\sigma_2 > \sigma_1\) y que ambas son positivas.

Alternativa correcta: D) En ambos casos la desviación estándar es mayor que cero.
20Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)

En las siguientes tablas se presentan las edades de un grupo de niñas y un grupo de niños que asisten a un centro pediátrico.

Grupo de niñas
Edad en añosFrecuencia
310
410
510
Grupo de niños
Edad en añosFrecuencia
810
910
1010

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a las edades de los grupos?

  • A) Tienen la misma desviación estándar y el mismo promedio.
  • B) Tienen la misma desviación estándar, pero distinto promedio.
  • C) Tienen el mismo promedio, pero distinta desviación estándar.
  • D) Tienen distinto promedio y distinta desviación estándar.

Ejemplo 20 · Una traslación de los datos

Paso 1. Notar la relación entre los dos grupos

Las edades de los niños son exactamente las de las niñas más 5 años, con las mismas frecuencias:

\[3\to 8,\qquad 4\to 9,\qquad 5\to 10\]

Es decir, el segundo grupo es el primero desplazado en \(k=5\). Esto permite responder sin calcular casi nada, usando las propiedades.

Paso 2. Aplicar las propiedades \[\bar{x}(x+k)=\bar{x}(x)+k \quad\Longrightarrow\quad \text{el promedio SÍ cambia}\] \[\sigma(x+k)=\sigma(x) \quad\Longrightarrow\quad \text{la desviación estándar NO cambia}\]

Sumar una constante a todos los datos mueve el centro, pero no altera las distancias entre ellos.

Paso 3. Comprobar con los números

Cada grupo tiene \(n=30\).

\[\bar{x}_{\text{niñas}}=\frac{3\cdot 10+4\cdot 10+5\cdot 10}{30}=\frac{120}{30}=4\] \[\bar{x}_{\text{niños}}=\frac{8\cdot 10+9\cdot 10+10\cdot 10}{30}=\frac{270}{30}=9\]

Promedios distintos, con la diferencia de 5 esperada. Ahora las desviaciones:

\[\sigma_{\text{niñas}}=\sqrt{\frac{10(3-4)^2+10(4-4)^2+10(5-4)^2}{30}}=\sqrt{\frac{10+0+10}{30}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\] \[\sigma_{\text{niños}}=\sqrt{\frac{10(8-9)^2+10(9-9)^2+10(10-9)^2}{30}}=\sqrt{\frac{10+0+10}{30}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Idénticas, como anticipaban las propiedades.

Por qué se descartan las otras
  • A) acierta en la desviación pero falla en el promedio: 4 y 9 no son iguales.
  • C) y D) afirman que la desviación cambia, cuando una traslación no la modifica.

Alternativa correcta: B) Tienen la misma desviación estándar, pero distinto promedio.
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