Hay que buscar el intervalo que contiene al dato que ocupa la posición 30.
Paso 3. Construir la frecuencia acumulada
Intervalo
\(f\)
\(F\)
Posiciones que abarca
[25, 30[
12
12
1 a 12
[30, 35[
24
36
13 a 36
[35, 40[
36
72
37 a 72
[40, 45[
30
102
73 a 102
[45, 50[
24
126
103 a 126
[50, 55[
12
138
127 a 138
[55, 60[
12
150
139 a 150
Paso 4. Ubicar la posición 30
El segundo intervalo abarca desde la posición 13 hasta la 36, y 30 está dentro de ese rango. Por lo tanto \(P_{20}\) se encuentra en \([30,35[\).
Errores frecuentes
Usar \(\dfrac{K(n+1)}{100}=\dfrac{20\cdot 151}{100}=30{,}2\). Aquí no cambia la respuesta, pero para intervalos la fórmula correcta es sin el \(+1\).
Confundir el 20% de los datos (30 personas) con el intervalo número 20, o creer que el percentil 20 cae siempre en el segundo intervalo de siete.
Alternativa correcta: A) [30, 35[
2Habilidad: Representar. (DEMRE 2024)
En la figura adjunta se resumen las temperaturas del aire cerca de la superficie de cinco ciudades en cierto año. ¿Cuál es la ciudad que tuvo la menor diferencia entre la temperatura máxima y mínima registrada, según la figura?
A) Tombuctú.
B) Reikiavik.
C) Calama.
D) La Habana.
Ejemplo 2 · Diferencia entre máximo y mínimo
Paso 1. Traducir la pregunta al gráfico
La diferencia entre la temperatura máxima y la mínima es el rango total de la muestra. En un diagrama de caja, el rango total es la distancia entre el extremo del bigote inferior y el extremo del bigote superior. No es el tamaño del cajón: ese sería el rango intercuartílico.
La pregunta se resuelve entonces buscando el diagrama más corto de punta a punta, sin importar dónde esté ubicado en el eje.
Paso 2. Leer los extremos de cada ciudad
Ciudad
Mínimo aprox.
Máximo aprox.
Rango total
Tombuctú
11 °C
45 °C
34 °C
La Habana
17 °C
34 °C
17 °C
Sídney
4 °C
33 °C
29 °C
Calama
−10 °C
27 °C
37 °C
Reikiavik
−8 °C
19 °C
27 °C
Paso 3. Comparar
El menor rango es el de La Habana, con alrededor de 17 °C. Visualmente es el diagrama notoriamente más compacto de los cinco.
Por qué se descartan las otras
A) Tombuctú: tiene el cajón más alto en el eje, pero su rango es cercano a 34 °C. Temperatura alta no significa poca variación.
B) Reikiavik y C) Calama: ambas tienen temperaturas bajas y bigotes largos hacia abajo; sus rangos superan los 25 °C.
Alternativa correcta: D) La Habana.
3Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)
Durante el año 2023 una fundación focalizará su ayuda al 25% de los hogares con menores ingresos de una comuna. ¿Cuál de las siguientes medidas de posición permite determinar el ingreso máximo que debe tener un hogar de la comuna para ser beneficiado?
A) El segundo cuartil de los ingresos.
B) El percentil 75 de los ingresos.
C) El percentil 4 de los ingresos.
D) El primer cuartil de los ingresos.
Ejemplo 3 · Qué medida corta el 25% inferior
Paso 1. Identificar qué porcentaje se quiere dejar por debajo
La fundación ayuda al 25% de los hogares con menores ingresos. El corte buscado es el valor que deja el 25% de los datos por debajo: ese es, por definición, el percentil 25.
Paso 2. Traducir a cuartil
\[C_1 = P_{25}\]
El ingreso máximo para ser beneficiado es el primer cuartil de los ingresos de la comuna: un hogar entra al programa si su ingreso es menor o igual a \(C_1\).
Por qué se descartan las otras
A) El segundo cuartil es \(P_{50}\), que dejaría por debajo al 50% de los hogares: el doble del grupo objetivo.
B) El percentil 75 deja por debajo al 75% de los hogares. Sirve para identificar al 25% de mayores ingresos, que es justo lo contrario.
C) El percentil 4 confunde el número 25 del enunciado con el "4" de "cuarto". \(P_4\) deja por debajo solo al 4% de los hogares.
Alternativa correcta: D) El primer cuartil de los ingresos.
4Habilidad: Representar. (DEMRE 2026)
Considera el siguiente grupo de datos: 18, 19, 20, 21, 21, 27, 30, 30, 31, 34 y 35. ¿Cuál de los siguientes diagramas de cajón representa a este grupo de datos?
A)
B)
C)
D)
Ejemplo 4 · Construir el diagrama a partir de los datos
Paso 1. Ordenar y numerar posiciones
Los datos ya vienen ordenados. Con \(n = 11\):
Posición
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Dato
18
19
20
21
21
27
30
30
31
34
35
Paso 2. Calcular los tres cuartiles
Como son datos sueltos, se usa \(\dfrac{K(n+1)}{100}\) con \(n+1 = 12\):
\[C_1=P_{25}:\quad \frac{25\cdot 12}{100}=3 \;\Rightarrow\; \text{dato en la posición 3} = 20\]
\[C_2=P_{50}:\quad \frac{50\cdot 12}{100}=6 \;\Rightarrow\; \text{dato en la posición 6} = 27\]
\[C_3=P_{75}:\quad \frac{75\cdot 12}{100}=9 \;\Rightarrow\; \text{dato en la posición 9} = 31\]
Las tres posiciones resultaron enteras, así que no hay promedios que calcular.
El diagrama correcto: cajón entre 20 y 31, con la mediana marcada en 27.
Por qué se descartan las otras
A) ubica \(C_3\) en 34, que es el dato de la posición 10 y no de la 9.
B) pone la mediana en 26, un valor que ni siquiera está en el conjunto: proviene de promediar mal.
C) comete los dos errores: \(C_1\) en 19 y \(C_2\) en 26.
Alternativa correcta: D)
5Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)
Los siguientes datos corresponden a la masa de los tomates cosechados en un huerto de una escuela: 75 g, 77 g, 84 g, 98 g, 101 g, 116 g, 129 g, 132 g, 145 g, 152 g, 163 g y 176 g. ¿Cuál de los siguientes percentiles supera los 100 g?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
Ejemplo 5 · Probar percentiles hasta superar un valor
Paso 1. Ordenar y contar
Los datos ya están ordenados y \(n = 12\), de modo que \(n+1 = 13\).
Posición
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Masa (g)
75
77
84
98
101
116
129
132
145
152
163
176
Paso 2. Calcular cada percentil de las alternativas
Conviene ir de menor a mayor y detenerse en el primero que pase los 100 g. Todas las posiciones resultan decimales, así que en cada caso se promedian los dos datos vecinos.
Los tres primeros quedan bajo los 100 g. El primero que los supera es \(P_{40} = 108{,}5\) g.
Atajo útil
El primer dato que supera los 100 g es 101, en la posición 5. Se busca entonces el menor \(K\) tal que \(\dfrac{13K}{100} \ge 4{,}5\), es decir \(K \ge 34{,}6\). De las alternativas, la primera que cumple es 40.
Alternativa correcta: D) 40
6Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2023)
En la siguiente tabla se presenta la distribución del puntaje obtenido en una prueba de matemática por todo el estudiantado de primero medio de un colegio. Si se realiza una prueba recuperativa para los estudiantes que estuvieron bajo el percentil 40 de los puntajes obtenidos, ¿cuántos estudiantes podrán optar a la prueba recuperativa?
Puntaje
Frecuencia
Frecuencia acumulada
10
30
30
20
45
75
30
30
105
40
45
150
50
50
200
A) 39
B) 75
C) 79
D) 80
Ejemplo 6 · Cuántos estudiantes quedan bajo \(P_{40}\)
Paso 1. Entender que son dos preguntas encadenadas
Primero hay que calcular cuál es el puntaje \(P_{40}\), y recién después contar cuántos estudiantes quedaron bajo ese puntaje. Contestar solo la primera parte es el error más común aquí.
Como es decimal, se promedian los datos de las posiciones 80 y 81. Según la frecuencia acumulada:
Puntaje
\(F\)
Posiciones que abarca
10
30
1 a 30
20
75
31 a 75
30
105
76 a 105
40
150
106 a 150
50
200
151 a 200
Las posiciones 80 y 81 están ambas en la fila del puntaje 30, así que el promedio es 30:
\[P_{40}=\frac{30+30}{2}=30\ \text{puntos}\]
Paso 3. Contar los que están bajo ese puntaje
Estar bajo el percentil 40 significa tener un puntaje estrictamente menor que 30. Esos son los estudiantes con 10 y con 20 puntos:
\[30 + 45 = 75 \ \text{estudiantes}\]
Por qué se descartan las otras
A) 39: no corresponde a ninguna suma de frecuencias de la tabla.
C) 79 y D) 80: provienen de tomar la posición 80,4 como si fuera la cantidad de estudiantes. La posición indica un lugar en la lista ordenada, no un total.
Alternativa correcta: B) 75
7Habilidad: Argumentar. (DEMRE 2024)
Una municipalidad ofrece un subsidio para mejoramiento de infraestructura del hogar a todos los habitantes de la comuna que pertenecen al 60% de menores ingresos de la población del país. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto del ingreso de una vecina de la comuna asegura que puede optar a este subsidio?
A) Que sea mayor que el percentil 20 de los ingresos de la población del país.
B) Que sea menor que el percentil 40 de los ingresos de la población del país.
C) Que sea igual que el percentil 50 de los ingresos de la población de la comuna.
D) Que sea igual que el percentil 60 de los ingresos de la población de la comuna.
Ejemplo 7 · Qué condición asegura el beneficio
Paso 1. Fijar la población de referencia
El criterio del subsidio está definido sobre la población del país, no de la comuna. Cualquier alternativa que use percentiles de la comuna cambia el conjunto de datos y no permite concluir nada sobre el criterio.
Paso 2. Escribir la condición del beneficio
Pertenecer al 60% de menores ingresos del país significa tener un ingreso menor o igual a \(P_{60}\) del país:
\[\text{ingreso} \le P_{60}^{\,\text{país}}\]
Paso 3. Buscar una condición que garantice lo anterior
La palabra clave del enunciado es asegura: la afirmación debe implicar el criterio siempre, no solo a veces.
Si el ingreso es menor que \(P_{40}\) del país, entonces la vecina está dentro del 40% de menores ingresos. Y como los percentiles crecen, \(P_{40} \le P_{60}\), así que también está dentro del 60% inferior:
\[\text{ingreso} < P_{40} \le P_{60} \;\Rightarrow\; \text{cumple el criterio}\]
Por qué se descartan las otras
A) ser mayor que \(P_{20}\) no dice nada del techo: podría tener un ingreso altísimo y quedar fuera del 60% inferior.
C) y D) usan percentiles de la comuna. El \(P_{50}\) de una comuna acomodada puede estar muy por encima del \(P_{60}\) del país, así que no aseguran nada.
Alternativa correcta: B) Que sea menor que el percentil 40 de los ingresos de la población del país.
8Habilidad: Representar. (DEMRE 2023)
En el diagrama de cajón adjunto se presenta la distribución de los tiempos que un grupo de 100 personas logró mantenerse en postura de sentadilla con la espalda apoyada en la pared en un gimnasio.
Tiempo en segundos.
Las instructoras del gimnasio garantizan que después de tomar el entrenamiento básico por una semana, las personas cuyos tiempos son menores al segundo cuartil aumentarán su tiempo en 30 s y el resto de las personas aumentarán su tiempo en 15 s.
Si estas 100 personas toman el entrenamiento y la promesa de las instructoras es efectiva, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera luego de una semana de entrenamiento?
A) Exactamente 2 personas durarán más de 60 s.
B) A lo más 3 personas durarán más de 60 s.
C) Al menos 25 personas durarán más de 60 s.
D) Exactamente 50 personas durarán más de 60 s.
Ejemplo 8 · Cuántos superan los 60 s después del entrenamiento
Paso 1. Leer los cinco valores
Mínimo \(=15\) s · \(C_1=25\) s · \(C_2=30\) s · \(C_3=46\) s · Máximo \(=70\) s, con \(n=100\) personas.
Como son 100 personas, cada cuartil separa grupos de 25.
Paso 2. Separar los dos grupos de la promesa
Grupo
Tiempo inicial
Aumento
Tiempo final
Menores a \(C_2\) (≈50 personas)
entre 15 y 30 s
+30 s
entre 45 y 60 s
El resto (≈50 personas)
desde 30 hasta 70 s
+15 s
entre 45 y 85 s
Paso 3. Analizar el primer grupo
Su tiempo inicial es menor que 30 s, así que al sumar 30 s el resultado es menor que 60 s. Ninguna de estas personas supera los 60 s.
Paso 4. Analizar el segundo grupo
Aquí el tiempo final supera los 60 s cuando el tiempo inicial supera los 45 s:
\[t + 15 > 60 \;\Longleftrightarrow\; t > 45\]
El tercer cuartil es \(C_3 = 46\) s, y por definición al menos el 25% de las personas — es decir, al menos 25 — tiene un tiempo mayor o igual a 46 s. Todas ellas tenían más de 45 s, de modo que todas terminan sobre los 60 s.
Paso 5. Elegir la afirmación
Se puede garantizar que al menos 25 personas superan los 60 s. No se puede decir el número exacto, porque el diagrama no dice cuántas personas tienen entre 45 y 46 s.
Por qué se descartan las otras
A) y B) dan cifras demasiado pequeñas: ya identificamos al menos 25 personas.
D) afirma exactamente 50, pero el grupo que estaba entre \(C_2\) y \(C_3\) (otras 25 personas) puede tener tiempos bajo los 45 s y no superar el umbral.
Alternativa correcta: C) Al menos 25 personas durarán más de 60 s.
9Habilidad: Representar. (DEMRE 2025)
En un curso de 20 estudiantes se realizó una encuesta en la que se consultó sobre cuántas bicicletas hay en el hogar de cada uno. Las respuestas se registran en la siguiente tabla:
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
6
¿Cuál de los siguientes diagramas de cajón representa correctamente los datos?
A)
B)
C)
D)
Ejemplo 9 · Diagrama de caja con datos repetidos
Paso 1. Ordenar y ubicar posiciones
Los datos ya vienen ordenados, con \(n = 20\):
Pos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Dato
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
6
Paso 2. Calcular los cuartiles
Con \(n+1 = 21\), las tres posiciones resultan decimales, así que hay que promediar en cada caso:
El diagrama correcto tiene el bigote izquierdo llegando a 0, el cajón entre 1 y 3, la mediana marcada exactamente en 2 y el bigote derecho llegando hasta 6. Como los cuatro diagramas comparten el mínimo y el máximo, la decisión se juega solo en dónde caen \(C_2\) y \(C_3\):
Alternativa
\(C_1\)
\(C_2\)
\(C_3\)
¿Correcta?
A
1 ✓
2 ✓
3,5 ✗
No
B
1 ✓
2,3 ✗
3,5 ✗
No
C
1 ✓
2 ✓
3 ✓
Sí
D
1 ✓
2,3 ✗
3 ✓
No
Por qué se descartan las otras
A) ubica \(C_3\) en 3,5. Ese valor saldría de promediar los datos de las posiciones 16 y 17 (3 y 4), es decir, de usar \(\tfrac{75\cdot 20}{100}=15\) y correr una posición, en vez de \(\tfrac{75\cdot 21}{100}=15{,}75\).
B) tiene mal los dos cuartiles: la mediana en 2,3 y \(C_3\) en 3,5.
D) acierta en \(C_3=3\) pero pone la mediana en 2,3. Un valor como 2,3 no puede salir de promediar dos datos enteros de este conjunto.
Advertencia frecuente
Cuando hay muchos datos repetidos, los extremos del cajón y la mediana suelen caer sobre el mismo valor. Eso no es un error: significa que ese valor concentra buena parte de la muestra.
Alternativa correcta: C)
10Habilidad: Modelar. (DEMRE 2022)
En la tabla adjunta se muestra la distribución del Ingreso Promedio Familiar (IPF) de un grupo de familias en una pequeña localidad, en la que el IPF se calcula como el ingreso total de la familia dividido por el número de integrantes.
IPF en $
Frecuencia
[0 , 50.000[
100
[50.000 , 75.000[
70
[75.000 , 150.000[
50
[150.000 , 250.000[
20
[250.000 , 500.000[
10
Para una familia de \(n\) integrantes con un ingreso total de $300.000, ¿qué condición debe cumplir \(n\) para asegurar que el IPF de esa familia pertenezca al intervalo en el que está el percentil 50 de los datos?
A) \(2 < n \le 4\)
B) \(0 < n \le 6\)
C) \(4 < n \le 6\)
D) \(0 \le n \le 4\)
Ejemplo 10 · Del percentil a una inecuación
Paso 1. Encontrar el intervalo del percentil 50
Total de familias: \(n = 100+70+50+20+10 = 250\). Para el intervalo de un percentil se usa \(\dfrac{K\cdot n}{100}\):
\[\frac{50\cdot 250}{100}=125\]
Intervalo
\(f\)
\(F\)
Posiciones
[0 , 50.000[
100
100
1 a 100
[50.000 , 75.000[
70
170
101 a 170
[75.000 , 150.000[
50
220
171 a 220
[150.000 , 250.000[
20
240
221 a 240
[250.000 , 500.000[
10
250
241 a 250
La posición 125 cae en el segundo intervalo: \(P_{50}\) está en \([50.000\,,\,75.000[\).
Paso 2. Escribir el IPF de la familia
Por definición del enunciado, el IPF es el ingreso total dividido por el número de integrantes:
Se resuelve por partes. Lado izquierdo (con \(n>0\), se puede multiplicar sin invertir el signo):
\[50.000\,n \le 300.000 \;\Longrightarrow\; n \le 6\]
Lado derecho:
\[300.000 < 75.000\,n \;\Longrightarrow\; 4 < n\]
Paso 4. Reunir el resultado
\[4 < n \le 6\]
Es decir, la familia debe tener 5 o 6 integrantes. Comprobación: con \(n=5\), IPF \(=60.000\) ✓; con \(n=6\), IPF \(=50.000\) ✓; con \(n=4\), IPF \(=75.000\), que ya no pertenece al intervalo porque el extremo derecho es abierto.
Por qué se descartan las otras
A) y D) incluyen valores pequeños de \(n\) que dan IPF altos: con \(n=3\), el IPF es $100.000, que cae en el tercer intervalo.
B) incluye \(n=1,2,3,4\), que también quedan fuera del intervalo por la misma razón.
Alternativa correcta: C) \(4 < n \le 6\)
11Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2022)
El diagrama de caja adjunto representa la distribución de las edades de un grupo de personas.
Edades (en años).
¿Cuál de las siguientes afirmaciones se deduce del gráfico?
A) Las personas menores de 13 años, junto a las mayores de 18 años, equivalen a un 50% del grupo.
B) Ninguna persona tiene 19 años.
C) Hay solo una persona que tiene 8 años.
D) Hay al menos 1 persona que tiene 24 años.
Ejemplo 11 · Qué se deduce y qué no de un diagrama de caja
Nota que el enunciado no dice cuántas personas hay en el grupo. Toda afirmación que exija conocer \(n\) queda descartada de entrada.
Paso 2. Revisar cada alternativa
A) Los menores de 13 son a lo más el 25%, y los mayores de 18 también son a lo más el 25%. Que sumen exactamente 50% exigiría que ningún dato valga justo 13 o 18, cosa que el diagrama no garantiza. No se deduce.
B) El valor 19 está entre \(C_3=18\) y el máximo \(=24\), o sea dentro del rango de los datos. Perfectamente puede haber alguien de 19 años. No se deduce.
C) El 8 es el mínimo, pero nada impide que dos o tres personas tengan 8 años. Que sea el valor más pequeño no significa que sea único. No se deduce.
D) El máximo del diagrama es 24. Un valor máximo existe porque algún dato lo alcanza: al menos una persona del grupo tiene 24 años. Sí se deduce.
Regla práctica
Los cinco valores del diagrama son datos reales de la muestra: alguien tiene exactamente el mínimo y alguien tiene exactamente el máximo. En cambio, cuántas personas hay en cada tramo es información que el diagrama no entrega.
Alternativa correcta: D) Hay al menos 1 persona que tiene 24 años.
12Habilidad: Representar. (DEMRE 2026)
La distribución de seguidores en redes sociales de internet que tiene un grupo de estudiantes de cuarto año medio está representada en el diagrama de cajón adjunto.
Cantidad de seguidores en redes sociales.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones se puede deducir a partir de este diagrama?
A) El promedio de la cantidad de seguidores en el grupo de estudiantes es de 270.
B) La mitad de estudiantes del grupo tiene 270 seguidores.
C) Hay 60 estudiantes en el grupo que tienen entre 80 y 140 seguidores.
D) Al menos un 25% de los estudiantes del grupo tiene desde 140 hasta 270 seguidores.
Ejemplo 12 · Los porcentajes que sí entrega el diagrama
Los cuartiles dividen la muestra en cuatro grupos con aproximadamente el 25% de los datos cada uno:
Tramo
Porcentaje aproximado
80 a 140 (mín a \(C_1\))
25%
140 a 270 (\(C_1\) a \(C_2\))
25%
270 a 320 (\(C_2\) a \(C_3\))
25%
320 a 580 (\(C_3\) a máx)
25%
Paso 3. Revisar cada alternativa
A) El 270 es la mediana, no el promedio. El diagrama de caja no entrega ninguna información sobre la media aritmética. Descartada.
B) La mediana 270 indica que la mitad tiene hasta 270 seguidores, no que la mitad tenga exactamente 270. Descartada.
C) Habla de 60 estudiantes, pero el diagrama no dice cuántos estudiantes hay. El 60 aparece por restar \(140-80\), que es una cantidad de seguidores y no de personas. Descartada.
D) El tramo entre \(C_1\) y \(C_2\) concentra al menos el 25% de los estudiantes. Es exactamente lo que afirma. Correcta.
Cómo reconocer la alternativa correcta rápido
En estas preguntas la respuesta casi siempre está redactada con "al menos un 25%" o "la mitad tiene a lo más". Las alternativas que hablan de promedio, de cantidades exactas de personas o de valores únicos suelen ser distractores.
Alternativa correcta: D) Al menos un 25% de los estudiantes del grupo tiene desde 140 hasta 270 seguidores.
