Cap. 21 · Anexo M2 — Medidas de dispersión

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Desviación estándar y varianza

Esta página es opcional. Las medidas de dispersión son contenido exclusivo de la Competencia Matemática M2 y no se evalúan en M1. Revísala solo si además rendirás esa prueba.

a. Desviación estándar

Indica cuánto tienden a alejarse los datos del promedio. Según cómo vengan presentados los datos:

Datos no agrupados:

\[\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}\]

Datos en tabla sin intervalos:

\[\sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\cdots+f_n(x_n-\bar{x})^2}{n}}\]

Datos agrupados con intervalos, usando la marca de clase \(MC\):

\[\sigma=\sqrt{\frac{f_1(MC_1-\bar{x})^2+f_2(MC_2-\bar{x})^2+\cdots+f_n(MC_n-\bar{x})^2}{n}}\]

Propiedades

Si \(x\) es una variable aleatoria y \(k\) un número real:

\(\sigma(x)\ge 0\): la desviación estándar nunca es negativa.
\(\sigma(k)=0\): la desviación estándar de un número fijo es cero.
\(\sigma(x+k)=\sigma(x)\): sumar una constante a todos los datos no cambia la dispersión.
\(\sigma(kx)=k\cdot\sigma(x)\): multiplicar todos los datos por \(k\) multiplica la desviación por \(k\).

Tip Un grupo de datos cuyos valores son todos iguales tiene desviación estándar igual a cero.

b. Varianza

Es el cuadrado de la desviación estándar: \(\mathrm{Var}(x)=\sigma^2\). En la práctica se calcula la misma expresión de \(\sigma\) sin aplicar la raíz cuadrada.

Propiedades

\(\mathrm{Var}(x)\ge 0\)
\(\mathrm{Var}(k)=0\)
\(\mathrm{Var}(x+k)=\mathrm{Var}(x)\)
\(\mathrm{Var}(kx)=k^2\cdot\mathrm{Var}(x)\)

M2 Ejemplos del texto

Determine la desviación estándar y la varianza en cada caso: datos no agrupados, tabla sin intervalos y datos agrupados con intervalos.

a) Datos no agrupados: 0, 1, 4, 7, 8

Con \(n=5\), primero el promedio:

\[\bar{x}=\frac{0+1+4+7+8}{5}=\frac{20}{5}=4\]

Las desviaciones respecto de 4 son \(-4,\,-3,\,0,\,3,\,4\). Al cuadrado:

\[\sigma=\sqrt{\frac{4^2+3^2+0^2+3^2+4^2}{5}}=\sqrt{\frac{16+9+0+9+16}{5}}=\sqrt{\frac{50}{5}}=\sqrt{10}\approx 3{,}16\] \[\mathrm{Var}(x)=\sigma^2=10\]

b) Datos en tabla sin intervalos

\(x\)	1	2	3	4	5
\(f\)	1	4	5	2	2

\(n = 1+4+5+2+2 = 14\), y el promedio ponderado:

\[\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 2+5\cdot 2}{14}=\frac{1+8+15+8+10}{14}=\frac{42}{14}=3\]

Ahora cada término \(f_i(x_i-3)^2\):

\[\sigma=\sqrt{\frac{1(1-3)^2+4(2-3)^2+5(3-3)^2+2(4-3)^2+2(5-3)^2}{14}}\] \[=\sqrt{\frac{4+4+0+2+8}{14}}=\sqrt{\frac{18}{14}}=\sqrt{1{,}29}\approx 1{,}14\] \[\mathrm{Var}(x)\approx 1{,}29\]

c) Datos agrupados con intervalos

Intervalo	\(f\)	\(MC\)
[0 , 10[	8	5
[10 , 20[	4	15
[20 , 30[	2	25

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo. Con \(n = 8+4+2 = 14\):

\[\bar{x}=\frac{5\cdot 8+15\cdot 4+25\cdot 2}{14}=\frac{40+60+50}{14}=\frac{150}{14}\approx 10{,}7\] \[\sigma=\sqrt{\frac{8(5-10{,}7)^2+4(15-10{,}7)^2+2(25-10{,}7)^2}{14}}=\sqrt{\frac{260+74+409}{14}}=\sqrt{\frac{743}{14}}\] \[\sigma=\sqrt{53}\approx 7{,}3 \qquad \mathrm{Var}(x)=53\]

Cuidado con el orden Se calcula primero el promedio y recién después las desviaciones. Es un error común restar el promedio del intervalo en lugar de la marca de clase.

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