III Medio — Prueba Teórica
Preguntas y soluciones

Igualamos la energía potencial elástica con la energía cinética:

\[ E_{\text{elástica}} = E_{\text{cinética}} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}k x^2 = \tfrac{1}{2}m v^2 \]

Cancelamos el \(\tfrac{1}{2}\) y despejamos \(v\):

\[ k x^2 = m v^2 \;\Rightarrow\; v^2 = \frac{k x^2}{m} \;\Rightarrow\; v = x\sqrt{\frac{k}{m}} \]

El trabajo depende del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. El desplazamiento es vertical y la fuerza está a \(60^\circ\) de la vertical, así que ese es el ángulo entre ambos:

\[ W = F\, d \cos\theta = 50\ \mathrm{N} \cdot 0{,}5\ \mathrm{m} \cdot \cos 60^\circ \]

\[ W = 50 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 12{,}5\ \mathrm{J} \]

\[ \Delta U = m\,g\,\Delta h = m\,g\,(h_f - h_i) \]

\[ \Delta U = 90 \cdot 9{,}8 \cdot (600 - 2000) = 90 \cdot 9{,}8 \cdot (-1400) \]

\[ \Delta U \approx -1{,}23\times10^{6}\ \mathrm{J} \]

El signo negativo indica que perdió energía potencial. En magnitud, \(1{,}2\times10^{6}\ \mathrm{J}\).

La densidad del aire a nivel del mar es \(\rho \approx 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\). Un metro cúbico de aire pesa:

\[ W = \rho\,V\,g \approx 1{,}2 \cdot 1 \cdot 9{,}8 \approx 12\ \mathrm{N} \]

• La presión atmosférica (\(\approx 101\,325\ \mathrm{Pa}\)) es justamente el peso de la columna de aire sobre nosotros.
• Un balón con aire comprimido pesa más en una balanza que vacío.
• El barómetro de Torricelli demuestra que el aire empuja con su peso.

La ley de Coulomb dice que la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia:

\[ F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} \]

Varilla negativa Las cargas \(+\) de las moléculas son atraídas → se acercan a la varilla (menor \(r\), mayor fuerza). Las cargas \(-\) son repelidas → se alejan (mayor \(r\), menor fuerza). La atracción (cerca) gana a la repulsión (lejos): el papel es atraído.

Varilla positiva Ocurre lo simétrico: las cargas \(-\) se acercan (atracción fuerte) y las \(+\) se alejan (repulsión débil). Nuevamente gana la atracción. Por eso, sin importar el signo de la varilla, los papelitos siempre son atraídos.

Fuerza de roce El cuerpo se mueve, así que actúa roce cinético, que se opone al movimiento (motion a la izquierda ⇒ roce a la derecha):

\[ f = \mu\,N = \mu\,m\,g = 0{,}1 \cdot 12 \cdot 10 = 12\ \mathrm{N} \]

Equilibrio A velocidad constante, \(\sum F = 0\). Tomando la derecha como positiva (100 N a la derecha; 60 N y \(F\) a la izquierda; roce a la derecha):

\[ 100 - 60 - F + 12 = 0 \]

\[ 112 - 60 = F \;\Rightarrow\; F = 52\ \mathrm{N} \]

La sensación de "frío" no mide la temperatura del objeto, sino la rapidez con que tu piel pierde calor. Aunque ambos estén a la misma temperatura (menor que la de tu mano), el metal, con mayor conductividad térmica, transfiere calor mucho más rápido:

\[ \text{metal: conductividad alta} \;\Rightarrow\; \text{pérdida de calor rápida} \;\Rightarrow\; \text{"frío"} \]

En \(\Delta U = Q - W\), el término \(Q\) representa el calor intercambiado. Si no hay trabajo (\(W = 0\)) o lo mantenemos fijo, el efecto del calor sobre la energía interna es directo:

\[ Q > 0 \;\Rightarrow\; \Delta U > 0 \quad(\text{aumenta}) \]

\[ Q < 0 \;\Rightarrow\; \Delta U < 0 \quad(\text{disminuye}) \]

El caudal (volumen por segundo) se conserva. La ecuación de continuidad dice:

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{constante} \]

Si el área \(A\) disminuye (dedo tapando parte de la boca), la rapidez \(v\) debe aumentar para mantener el mismo caudal. Por eso el chorro sale más rápido y llega más lejos.

La evidencia principal es la ley de Hubble:

\[ v = H_0\, d \]

La velocidad de alejamiento \(v\) es proporcional a la distancia \(d\). El corrimiento al rojo (aumento de la longitud de onda) indica que las galaxias se alejan. Otras evidencias: la radiación cósmica de fondo y la abundancia de elementos ligeros, coherentes con el modelo del Big Bang.

Como \(k\) es constante, comparamos dos órbitas dividiendo la ley de Kepler:

\[ \frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 \]

Con \(R_2 = \dfrac{R_1}{2}\):

\[ \frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

\[ T_2 = T_1\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{T_1}{2\sqrt{2}} \]

Con \(T_1 = 365\ \text{días}\):

\[ T_2 = \frac{365}{2\sqrt{2}} \approx \frac{365}{2{,}83} \approx 129\ \text{días} \]

Luz monocromática a ángulo fijo hacia distintos líquidos (agua, alcohol, glicerina, aceite, miel); se mide el ángulo del rayo con la normal en cada uno.

Se cuelga un resorte, se mide su largo en reposo y luego el alargamiento al colgar masas de distinto valor.

En el tiempo \(T_0\) entre pulsos, el sonido recorre una distancia \(\lambda\):

\[ \lambda = v\,T_0 = \frac{v}{f_0} \]

Durante \(T_0\), la fuente avanza \(v_s T_0\) hacia el público, acortando la separación:

\[ \lambda' = \lambda - v_s T_0 = v\,T_0 - v_s T_0 = (v - v_s)\,T_0 \]

El sonido no cambia de rapidez, así que la frecuencia observada es \(f' = v/\lambda'\):

\[ f' = \frac{v}{\lambda'} = \frac{v}{(v - v_s)\,T_0} = \frac{v}{v - v_s}\cdot\frac{1}{T_0} \]

Como \(1/T_0 = f_0\):

\[ \boxed{\,f' = f_0\,\dfrac{v}{v - v_s}\,} \]

Queremos que la frecuencia observada sea \(f' = 440\ \mathrm{Hz}\) partiendo de \(f_0 = 434\ \mathrm{Hz}\):

\[ 440 = 434\cdot\frac{340}{340 - v_s} \]

\[ \frac{440}{434} = \frac{340}{340 - v_s} \;\Rightarrow\; 340 - v_s = 340\cdot\frac{434}{440} \]

\[ 340 - v_s = 335{,}36 \;\Rightarrow\; v_s = 4{,}64\ \mathrm{m/s} \]

La longitud de onda observada es mayor (1,7 veces) que la esperada → corrimiento al rojo. Una longitud de onda que aumenta indica que la fuente se aleja de nosotros.

Se verá más roja. El rojo (\(\lambda_r \approx 700\ \mathrm{nm}\)) tiene mayor longitud de onda que el azul (\(\lambda_a \approx 450\ \mathrm{nm}\)); al aumentar \(\lambda\), el color se desplaza hacia el extremo rojo del espectro.

Ejemplo: una luz azul de \(450\ \mathrm{nm}\) se observaría en \(1{,}7 \cdot 450 \approx 765\ \mathrm{nm}\), ya en el rojo/infrarrojo.

En principio sí se puede estimar una velocidad de alejamiento a partir del cambio de longitud de onda, pero la fórmula del sonido no es válida aquí, por dos motivos:

• La luz no necesita un medio para propagarse (a diferencia del sonido), por lo que el concepto de "velocidad respecto del medio" no aplica igual.
• Un factor de \(1{,}7\) en la longitud de onda implica velocidades que son una fracción importante de la velocidad de la luz, donde hay que usar el efecto Doppler relativista. La fórmula clásica daría resultados incorrectos (incluso mayores que \(c\)).

Con la fórmula relativista \(\dfrac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emit}} = \sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}} = 1{,}7\) se obtiene \(\beta \approx 0{,}49\), es decir \(v \approx 0{,}49\,c\) (la fórmula clásica daría \(0{,}7\,c\), sobreestimando).

Los átomos se comparten entre celdas según su posición. Cada posición aporta una fracción:

Calculamos el volumen del cubo y luego \(m = \rho\,V\):

\[ V = a^3 = (5{,}6\times10^{-8}\ \mathrm{cm})^3 = 1{,}756\times10^{-22}\ \mathrm{cm^3} \]

\[ m = \rho\,V = 2{,}22\ \tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 1{,}756\times10^{-22}\ \mathrm{cm^3} \]

\[ m \approx 3{,}90\times10^{-22}\ \mathrm{g} = 3{,}90\times10^{-25}\ \mathrm{kg} \]

El cubo contiene 4 Na + 4 Cl. Su masa total en unidades \(u\) es:

\[ 4\cdot 23 + 4\cdot 35{,}5 = 92 + 142 = 234\ \mathrm{u} \]

Esa masa en \(u\) equivale a la masa real calculada. Así, la masa de \(1\ \mathrm{u}\) (que es aprox. la del hidrógeno) es:

\[ m_{1\,u} = \frac{3{,}90\times10^{-22}\ \mathrm{g}}{234\ \mathrm{u}} \approx 1{,}67\times10^{-24}\ \mathrm{g/u} \]

\[ \boxed{\,m_H \approx 1{,}67\times10^{-24}\ \mathrm{g} = 1{,}67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\,} \]