Doppler

Doppler

El efecto Doppler consiste en un cambio aparente en la frecuencia de un sonido debido al movimiento de la fuente de sonido del receptor del sonido o de ambos.

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La expresión algebraica para calcular el cambio en la frecuencia es ...

$f_r = \frac{v \pm v_r}{v \mp v_e} f_e$

donde f_r es la frecuencia que llega al receptor, en reposo o en movimiento.

v es la velocidad del sonido en el medio por donde se propaga la onda sonora.

v_r es la velocidad del receptor que puede ser cero o distinta de cero.

v_e es la velocidad del emisor del sonido que puede ser cero o distinta de cero.

y f_e es la frecuencia del sonido que emite la fuente de sonido, que puede estar en reposo o en movimiento.

los signos en el numerador y en el denominador son + en el numerador y − en el denominador, cuando emisor y receptor se acercan mutuamente.

y − en el numerador y + en el denominador cuando emisor y receptor se alejan uno del otro.

Ejemplo 5.31 Jou

Un objeto se desplaza a una velocidad de 10 m/s hacia una alarma que emite un sonido con una frecuencia de 5 000 Hz. (velocidad del sonido en aire, v = 344 m/s).
a) ¿Qué frecuencia escucha cuando se acerca?
b) ¿y cuando se aleja?

Desarrollo

a) Cuando se acerca, la frecuencia que percibe el oyente que se mueve es

$f_r = \frac{v + v_r}{v - v_e} f_e = \frac{v + v_r}{v } f_e = \frac{344 \; m/s + 10 \; m/s}{344 \; m/s} 5000 \; Hz = 5145 \; Hz$

es decir, aprecia un aumento en la frecuencia de 145 Hz.

b) Al alejarse, la frecuencia escuchada será menor, y su valor es

$f_r = \frac{v - v_r}{v + v_e} f_e = \frac{v - v_r}{v } f_e = \frac{344 \; m/s - 10 \; m/s}{344 \; m/s} 5000 \; Hz = 4855 \; Hz$

y ahora la frecuencia es inferior (sonido más grave) que la de la fuente en
145 Hz.

Ejemplo 5.34 Jou

Un murciélago vuela a una velocidad de 10 m/s en dirección a una pared que refleja el sonido perfectamente, emitiendo ondas de frecuencia f = 42 × 10³ Hz.
¿Cuánto vale la frecuencia que captan sus oídos del ultrasonido reflejado por la pared? (velocidad del sonido en aire, 344 m/s).

Desarrollo

La frecuencia que "recibe" la pared f_p proveniente del murciélago (emisor) f_m es la que corresponde a un receptor quieto y un emisor móvil acercándose al receptor

$f_p = \frac{v + v_p}{v - v_m} f_m$

considerando que la velocidad de la pared es cero.

$f_p = \frac{v }{v - v_m} f_m$

Pero la onda se refleja sobre la pared, que pasa a ser un emisor fijo, y el murciélago un receptor móvil que capta una frecuencia fm, por lo que se cumple ...

$f'_m = \frac{v+v_m }{v - v_p} f_p$

considerando que la velocidad de la pared es cero.

$f'_m = \frac{v+v_m }{v } f_p$

y, combinando las dos relaciones, tenemos la frecuencia que le llega f_m, tras ser emitida por él mismo y reflejada por la pared

$f'_m = \frac{v+v_m }{v } f_p = \frac{v }{v-v_m } f_m$

$f'_m = \frac{v+v_m }{v-v_m } f_m = \frac{344 \; m/s + 10 \;m/s}{344 \; m/s - 10 \; m/s} \times 42.000 Hz = 44.514,97 Hz$

Ejercicios

32 (JOU). Una de las técnicas para determinar el flujo sanguíneo en un vaso sanguíneo superficial consiste en medir el corrimiento Doppler de los ultrasonidos. En una de esas determinaciones se detecta un corrimiento Doppler de 100 Hz en un instrumento que tiene una fuente de frecuencia de 5 × 10⁶ Hz. ¿Cuánto vale la velocidad media de la sangre que circula por el vaso? (velocidad del sonido en la sangre, 1570 m/s.)

Receptor en movimiento

Un músico callejero toca la cuerda LA de su violín, produciendo un tono de 440 Hz. ¿Qué frecuencia oye un ciclista cuando
(a) se acerca y (b) se aleja del músico con una velocidad de 11.0 m/s?

Solución:

Parte (a)

Usando la ecuación:

y usando los signos + en el numerador y − en el denominador, porque fuente y receptor del sonido se acercan entre ellos, y sabiendo que v = 343 [m/s], y v_r es la velocidad del receptor, el ciclista, 11 [m/s] y v_e la velocidad del emisor, el violinista, que está en reposo, y f_e la frecuencia del emisor, en este caso 440 [Hz], tenemos ...

Parte (b)

Usando la ecuación:

y ahora usando los signos − en el numerador y + en el denominador, porque fuente y receptor del sonido se alejan entre ellos, y sabiendo que v = 343 [m/s], y v_r es la velocidad del receptor, el ciclista, 11 [m/s] y v_e la velocidad del emisor, el violinista, que está en reposo, y f_e la frecuencia del emisor, en este caso 440 [Hz], tenemos ...

pregunta: Si el ciclista escucha una frecuencia de 451 Hz, cuando se acerca al músico, ¿cuál es su rapidez?

Respuesta: v = 8.58 [m/s]