Ejercicios – Kepler, Gravitación y Tierra

Escribimos la 3ª Ley de Kepler igualandola a \(k\), que es la variable que queremos calcular :

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} = k \]

Despejando la constante para comprobar su valor con datos de la tabla:

Tierra

\(T=1\ \text{año},\quad r=1\ \text{UA}\) → \[ k = \frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{1^{2}}{1^{3}} = 1. \]

Venus

\(T \approx 224{,}7\ \text{d} = \dfrac{224.7}{365.25}\ \text{año} \approx 0.615\ \text{años},\quad r \approx 0.720\ \text{UA}\).

Calculamos \[ k = \frac{T^{2}}{r^{3}} \approx \frac{0.615^{2}}{0.720^{3}} \approx \frac{0.378225}{0.373248} \approx 1.014. \]

Observación: el valor \(k\approx 1\) confirma la forma normalizada \(T^{2}=r^{3}\) cuando usamos años y UA (pequeñas discrepancias por redondeo de valores experimentales).

Empezamos escribiendo la 3ª Ley de Kepler en forma fraccionaria y igualándola a 1 (usar años y UA):

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} = 1 \]

Despejamos \(r^{3}\):

\[ r^{3} = T^{2} \]

Tomando la raíz cúbica (mostrada con el símbolo de raíz):

\[ r = \sqrt[3]{T^{2}} \]

Ahora sustituimos \(T=76\):

\[ r \;=\; \sqrt[3]{76^{2}} \;=\; \sqrt[3]{5776} \]

Valor numérico aproximado:

\[ r \approx 17.94\ \text{UA} \]

Comprobación rápida: \(r^{3}\approx 17.94^{3}\approx 5776 \approx 76^{2}\).

a) Fuerza gravitacional entre las dos masas:

\[ F \;=\; G\,\frac{M_{1}\,M_{2}}{r^{2}} \]

b) Nueva fuerza si \(M_{1}'\to \tfrac{1}{2}M_{1}\), \(M_{2}'\to \tfrac{1}{2}M_{2}\) y \(r'\to 3r\) — deducción paso a paso:

Partimos de la ley de gravitación:

\[ F' \;=\; G\,\frac{M_{1}'\,M_{2}'}{(r')^{2}}. \]

Aplicamos los cambios: \(M_{1}'=\tfrac{1}{2}M_{1}\), \(M_{2}'=\tfrac{1}{2}M_{2}\), \(r' = 3r\). Entonces

\[ F' \;=\; G\,\frac{M_{1}'\,M_{2}'}{(r')^{2}} \;=\; G\,\frac{\left(\tfrac{1}{2}M_{1}\right)\left(\tfrac{1}{2}M_{2}\right)}{(3r)^{2}}. \]

Desarrollando factores numéricos en numerador y denominador:

\[ F' \;=\; G\,\frac{\tfrac{1}{4}M_{1}M_{2}}{9\,r^{2}} \;=\; \frac{1}{36}\;G\,\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}. \]

\[ F' \;=\; \frac{1}{36}\,F. \]

Interpretación rápida: reducir cada masa a la mitad introduce un factor \(\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}\) en el numerador; triplicar la distancia introduce \(\tfrac{1}{3^{2}}=\tfrac{1}{9}\) en el denominador; combinando \( \tfrac{1}{4}\times\tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{36}\).

Igualamos las razones (forma proporcional de la 3ª Ley de Kepler):

\[ \frac{T^{2}}{R_{0}^{3}} \;=\; \frac{T_{X}^{2}}{R_{X}^{3}} \]

Sustituimos \(R_{X}=2R_{0}\):

\[ \frac{T^{2}}{R_{0}^{3}} \;=\; \frac{T_{X}^{2}}{(2R_{0})^{3}} \;=\; \frac{T_{X}^{2}}{8\,R_{0}^{3}} \]

Multiplicamos por \(8R_{0}^{3}\) y despejamos \(T_{X}^{2}\):

\[ 8\,T^{2} \;=\; T_{X}^{2} \]

Tomando raíz positiva:

\[ T_{X} \;=\; \sqrt{8}\,T \;=\; 2\sqrt{2}\,T \]

Finalmente, con \(T=1\) año (caso Tierra):

\[ T_{X} \;=\; 2\sqrt{2}\ \text{años} \approx 2{,}828\ \text{años}. \]

a) La 2ª Ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) y la consecuencia sobre la variación de rapidez orbital en una elipse.

b) Si IG y FG abarcan áreas iguales, entonces los arcos correspondientes se recorren en el mismo tiempo; el arco más cercano al Sol (al perihelio) corresponde a mayor rapidez.

c) La velocidad es menor cerca del afelio.

d) La velocidad es mayor cerca del perihelio.

Usando unidades normalizadas (años y UA), la 3ª Ley de Kepler se escribe:

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} = 1 \]

Ahora sustituimos los valores dados: \(T=8\) años y \(r=4\) UA.

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} \;=\; \frac{8^{2}}{4^{3}} \;=\; \frac{64}{64} \;=\; 1. \]

Conclusión: el planeta cumple exactamente la 3ª Ley de Kepler.

Escribimos la 3ª Ley de Kepler en forma fraccionaria (unidades: años y UA):

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} = 1 \]

Para comprobar si un objeto con \(T=10\) años y \(r=10\) UA cumple la ley, calculamos la fracción:

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} \;=\; \frac{10^{2}}{10^{3}} \;=\; \frac{100}{1000} \;=\; \frac{1}{10} \;=\; 0.1 \]

Resultado: \(\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=0.1\neq 1\).

Por tanto, los valores dados no satisfacen la relación \(\dfrac{T^{2}}{r^{3}}= 1\).

Con \(F=G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^{2}}\) y dado \(F_{0}\) como valor inicial:

• a) Si \(M_{\oplus}\to 3M_{\oplus}\) entonces \(F=3F_{0}\).
• b) Si \(M_{\odot}\to \tfrac{1}{2}M_{\odot}\) entonces \(F=\tfrac{1}{2}F_{0}\).
• c) Si \(r\to 2r\) entonces \(F\propto 1/r^{2}\Rightarrow F=\dfrac{F_{0}}{4}.\)

Usando \(F_{0}=4\times 10^{22}\ \mathrm{N}\):

• a) \(F=3F_{0}=1.2\times 10^{23}\ \mathrm{N}.\)
• b) \(F=\tfrac{1}{2}F_{0}=2.0\times 10^{22}\ \mathrm{N}.\)
• c) \(F=\tfrac{F_{0}}{4}=1.0\times 10^{22}\ \mathrm{N}.\)

a) Falso. La gravedad decrece con \(1/r^{2}\) pero nunca es cero. Un satélite sigue sintiendo una fuerza gravitatoria que lo mantiene en órbita (caída libre).

b) Falso. Salir de la atmósfera no elimina la gravedad; para dejar de ser atraído se necesita alcanzar la velocidad de escape o situarse suficientemente lejos (de forma ideal infinita). En órbita baja la gravedad es apenas menor que en superficie.