Casos para discutir – Gravitación y Tierra

Los planetas terrestres son Mercurio, Venus, la Tierra y Marte. En masas relativas a la Tierra (M_⊕): Mercurio ≈ 0,055; Venus ≈ 0,815; Marte ≈ 0,107. La suma de todos los demás terrestres (Mercurio + Venus + Marte) es ≈ 0,977 M_⊕, menor que la masa de la Tierra. Por lo tanto, no hay combinación de planetas terrestres que iguale o exceda exactamente la masa terrestre (aún agregando la Luna ≈ 0,0123 M_⊕ seguiríamos por debajo).

¿Por qué la Tierra tiene más masa que Venus si sus diámetros son similares? Porque la masa depende de volumen y densidad. La Tierra es ligeramente mayor y, además, presenta una densidad media mayor (mayor fracción de hierro y compresión), lo que se traduce en ≈15% más masa que Venus.

Usó la dinámica newtoniana + 3ª Ley de Kepler. Para una órbita casi circular de radio r y periodo T:

• Fuerza gravitatoria: \(F = G\, \dfrac{M_{\odot}\,m}{ r^{2}}\)
• Fuerza centrípeta: \(F = m\, \dfrac{v^{2} }{r}\), con \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{2\pi r}{T}\)

Igualando ambas fuerzas:

\[ \dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{r^{2}} \;=\; \dfrac{m\,(2\pi r / T)^{2}}{r} \]

Se simplifica la masa pequeña m y despejando \(M_{\odot}\):

\[ M_{\odot} \;=\; \dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}} \]

Sustitución numérica (valores usados)

• \(r = 1\ \text{UA} = 149\,597\,870\,700\ \text{m}\)
• \(T = 1\ \text{año (juliano)} = 31\,557\,600\ \text{s}\)
• \(G = 6.67430\times 10^{-11}\ \text{m}^{3}\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}\) (CODATA)

Dividiendo:

\[ M_{\odot} = \dfrac{4\pi^{2}\, \times 149597870700^{3}}{6.67430 \times 10^{-11} \times 31557600^{2}} \text{kg} = \dfrac{1.3214\times 10^{35}}{6.657\times 10^{4}}\ \text{kg} \;\approx\; 1.9885\times 10^{30}\ \text{kg} \]

Redondeando: M_☉ ≈ 1.9885 × 10³⁰ kg (valor concordante con el valor aceptado ~1.98847×10³⁰ kg).

“Pesa 2 kilos” es ambiguo: en lenguaje cotidiano se usa “kilos” como kilogramo-fuerza. Si interpretamos 2 kgf, el peso (fuerza) es W ≈ 2 × 9,8 = 19,6 N.

Por 2ª Ley de Newton: W = m·g → g = W/m. Si la masa de la roca es 2 kg y su peso es 19,6 N, entonces g ≈ 9,8 m/s². Si solo conocemos la masa y no la fuerza peso, no podemos determinar g (faltan datos).

Si el eje de la Tierra no estuviese inclinado (0°):

• No habría estaciones marcadas: la insolación sería casi la misma todo el año en cada latitud.
• La duración del día sería ≈ 12 horas prácticamente en todas partes (salvo efectos de atmósfera y crepúsculo).
• La altura del Sol al mediodía sería constante durante el año: \(h = 90^\circ - |\varphi|\) (φ = latitud).
• Clima: menos variación estacional; Temporales y temporadas de lluvia se debilitarían o cambiarían mucho.
• Biología y agricultura: muchas plantas y animales perderían las señales estacionales (floración, migración, siembras), por lo que habría que adaptar cultivos y calendarios.

En resumen: sin inclinación la insolación depende sólo de la latitud y sería constante a lo largo del año — climas más "estables" pero con grandes consecuencias para ecosistemas y actividades humanas.

Si la Tierra rotara en 365 días (día = año):

• Una cara quedaría casi siempre iluminada y la opuesta en oscuridad continua.
• Temperaturas extremas: lado diurno muy caliente; lado nocturno muy frío (posible acumulación de hielo).
• Vientos fuertes transportando calor del día a la noche; podrían formarse tormentas intensas en zonas de tránsito.
• La franja de terminador (crepúsculo permanente) sería la más habitable y adecuada para cultivo.
• El ciclo del agua cambiaría: evaporación en el lado caliente y condensación/precipitación en el lado frío (posible "trampa de hielo").
• Muchos ciclos biológicos y agrícolas basados en día/noche y estaciones se verían alterados.

En resumen: una Tierra con una cara caliente y otra fría, una franja intermedia más favorecida para la vida y cambios fuertes en clima, agricultura y organización humana.

La 1ª Ley de Kepler indica que los planetas describen órbitas elípticas al rededor del Sol. Por tanto:

• Si la velocidad fuese constante no podría seguir una órbita elíptica, ya que en este tipo de órbita la velocidad es variable.
• Para mantener velocidad constante, la órbita debería ser circular (excentricidad 0).

La Tierra y la Luna no colapsan entre sí porque la Luna posee la velocidad exacta que le permite mantenerse en órbita alrededor de la Tierra. La fuerza de gravedad tiende a atraerla hacia nuestro planeta, pero su movimiento tangencial hace que, en lugar de caer, se desplace continuamente alrededor de él.
Si la Luna se moviera más lentamente, terminaría cayendo hacia la Tierra; y si fuera más rápida, escaparía de su atracción. En equilibrio, su velocidad orbital y la fuerza gravitatoria se compensan, haciendo que la Luna esté “cayendo” todo el tiempo, pero sin acercarse ni alejarse significativamente: por eso permanece en órbita..

La 3ª Ley de Kepler, en unidades astronómicas (UA) y años, se expresa de forma normalizada como:

\( r^{3} = T^{2} \)

Despejando el periodo \(T\):

\( T = \sqrt{r^{3}} \)

Si \(r = 3\ \text{UA}\), entonces:

\[ T = \sqrt{3^{3}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

\( T \approx 3\cdot 1.7320508076 \approx 5.196152423\ \text{años} \)

Redondeos habituales:

• 2 decimales: \(T \approx 5{,}20\ \text{años}\)
• 3 decimales: \(T \approx 5{,}196\ \text{años}\)

La ley de la gravitación universal de Newton dice que la fuerza gravitatoria entre dos masas \(m_1\) y \(m_2\) separadas por una distancia \(r\) es

\[ F \;=\; G\,\frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Si la distancia se duplica, es decir \(r' = 2r\), la nueva fuerza será

\[ F' \;=\; G\,\frac{m_1 m_2}{(r')^2} \;=\; G\,\frac{m_1 m_2}{(2r)^2} \;=\; G\,\frac{m_1 m_2}{4r^2} \;=\; \frac{1}{4}\,G\,\frac{m_1 m_2}{r^2} \;=\; \frac{1}{4}\,F. \]

En unidades astronómicas (UA) y años la 3ª Ley de Kepler, es

\[ \frac{T^{2}}{r^{3}} = 1 \]

Despejamos \(r^{3}\):

\[ r^{3} = T^{2} \]

despejamos r, aplicando raiz cúbica:

\[ r = \sqrt[3]{T^{2}} \]

Ahora sustituimos \(T=10\) y obtenemos:

\[ r \;=\; \sqrt[3]{10^{2}} \;=\; \sqrt[3]{100} \]

Valor numérico:

\[ r \approx 4.6415888336\ \text{UA} \]

Redondeando a dos decimales: r ≈ 4.64 UA.