⚡ MRUV: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Ecuación de Velocidad

$v = v_0 + a \cdot t$

• $v$ = velocidad final (m/s)
• $v_0$ = velocidad inicial (m/s)
• $a$ = aceleración (m/s²)
• $t$ = tiempo (s)

Ecuación de Itinerario

$x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$

Ecuación Independiente del Tiempo

$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$

Caída Libre

$g = 9.8$ m/s² $\approx 10$ m/s²

En caída libre y lanzamiento vertical, se usan las mismas ecuaciones del MRUV, pero con $a = g = 10$ m/s².

🔬 Actividad Práctica: Aceleración en un Plano Inclinado

Pregunta: Si la velocidad que lleva un móvil aumenta 12 veces, podemos afirmar que:

Desarrollo: Si la velocidad aumenta, significa que la aceleración fue positiva. El hecho de que aumente 12 veces no implica que la aceleración aumente en la misma proporción, ya que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Pregunta: Si un móvil permanece con su velocidad invariable, entonces

Desarrollo: Si la velocidad permanece invariable (constante), entonces no hay cambio en la velocidad, por lo tanto la aceleración es cero. Esto corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Pregunta: Si un móvil cambia su velocidad de 45 m/s a 20 m/s, entonces estamos en presencia de:

Desarrollo: Cuando la velocidad disminuye de 45 m/s a 20 m/s, el móvil está frenando. Esto es un movimiento de frenado, donde la aceleración es negativa (desaceleración).

Pregunta: La aceleración se puede definir como:

Desarrollo: La aceleración se define como la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo: \[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t - t_0}\]

Pregunta: Que la aceleración de un cuerpo sea de 12 m/s², quiere decir que:

Desarrollo: Una aceleración de 12 m/s² significa que la velocidad del cuerpo aumenta 12 m/s cada segundo. Esto es la definición de aceleración: el cambio de velocidad por unidad de tiempo.

Pregunta: Un automóvil parte acelerando constantemente a 18 m/s². La velocidad del auto dos segundos después de iniciar su movimiento es de:

Datos:

• $v_0 = 0$ m/s (parte del reposo)
• $a = 18$ m/s²
• $t = 2$ s
• $v = ?$

Fórmula:

\[ v = v_0 + a \cdot t \]

Desarrollo:

\[ v = 0 + 18 \cdot 2 = 36 \text{ m/s} \]

Respuesta: 36 m/s

Pregunta: Si un atleta, que parte del reposo, alcanza una rapidez de 12 m/s en los 5 primeros segundos de su carrera, ¿qué distancia recorrió en ese tiempo sabiendo que lo hizo con aceleración constante?

Datos:

• $v_0 = 0$ m/s (parte del reposo)
• $v = 12$ m/s
• $t = 5$ s
• $x - x_0 = ?$

Fórmula:

\[ x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Desarrollo:

Primero calculamos la aceleración:

\[ a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{12 - 0}{5} = 2.4 \text{ m/s²} \]

Ahora calculamos la distancia:

\[ x - x_0 = 0 + 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2.4 \cdot 5^2 = \frac{1}{2} \cdot 2.4 \cdot 25 = 30 \text{ m} \]

Respuesta: 30 m

Pregunta: Un cuerpo que parte del reposo alcanza una velocidad de 12 m/s, moviéndose a razón de 6 m/s². El tiempo que tardó en alcanzar esa velocidad es de:

Datos:

• $v_0 = 0$ m/s (parte del reposo)
• $v = 12$ m/s
• $a = 6$ m/s²
• $t = ?$

Fórmula:

\[ v = v_0 + a \cdot t \]

Despeje:

\[ t = \frac{v - v_0}{a} \]

Desarrollo:

\[ t = \frac{12 - 0}{6} = 2 \text{ s} \]

Respuesta: 2 s

Pregunta: Para el ejercicio anterior, ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

Datos:

• $v_0 = 0$ m/s (parte del reposo)
• $a = 6$ m/s²
• $t = 2$ s (del ejercicio anterior)
• $x - x_0 = ?$

Fórmula:

\[ x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Desarrollo:

\[ x - x_0 = 0 + 0 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ m} \]

Respuesta: 12 m

Pregunta: Un vehículo lleva una velocidad de 126 km/h y disminuye constantemente su velocidad hasta alcanzar los 18 km/h en un tiempo de 10 segundos. La aceleración que mantuvo este vehículo es de:

Datos:

• $v_0 = 126$ km/h
• $v = 18$ km/h
• $t = 10$ s
• $a = ?$

Conversión de unidades:

\[ v_0 = 126 \div 3.6 = 35 \text{ m/s} \]

\[ v = 18 \div 3.6 = 5 \text{ m/s} \]

Fórmula:

\[ a = \frac{v - v_0}{t} \]

Desarrollo:

\[ a = \frac{5 - 35}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \text{ m/s²} \]

Respuesta: -3 m/s² (el signo negativo indica que está frenando)

Pregunta: Para el ejercicio anterior, ¿Qué distancia tuvo que recorrer durante los 10 segundos?

Datos:

• $v_0 = 35$ m/s (del ejercicio anterior)
• $v = 5$ m/s
• $a = -3$ m/s² (del ejercicio anterior)
• $t = 10$ s
• $x - x_0 = ?$

Fórmula:

\[ x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Desarrollo:

\[ x - x_0 = 0 + 35 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot (-3) \cdot 10^2 \]

\[ x - x_0 = 350 - 150 = 200 \text{ m} \]

Respuesta: 200 m

Pregunta: ¿En cuál de las siguientes situaciones se presenta un objeto sin aceleración?

Desarrollo: En todas las situaciones mencionadas existe aceleración:
A) El vehículo frena (aceleración negativa)
B) El cuerpo cae con aceleración de gravedad
C) El vehículo cambia de dirección (aceleración centrípeta)
D) Usain Bolt acelera al inicio de la carrera
Por lo tanto, la respuesta correcta es E: En todas las anteriores existe aceleración.

Determina la aceleración que experimenta el objeto.

Datos: Del gráfico velocidad-tiempo, se observa que:
Punto 1: $(t_1, v_1) = (0, 10)$ → $t_1 = 0$ s, $v_1 = 10$ m/s
Punto 2: $(t_2, v_2) = (20, 50)$ → $t_2 = 20$ s, $v_2 = 50$ m/s

Fórmula: En un gráfico velocidad-tiempo, la aceleración equivale a la pendiente de la recta:
$a = m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

Desarrollo: Seleccionando dos puntos del gráfico y calculando la pendiente:
\[a = m = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{50 - 10}{20 - 0} = \frac{40}{20} = 2 \text{ m/s²}\]

Respuesta: La aceleración es $2$ m/s².

Determina la distancia recorrida.

Datos: Del gráfico velocidad-tiempo:
$v_0 = 10$ m/s (velocidad inicial)
$v = 50$ m/s (velocidad final)
$t = 20$ s (tiempo total)

Fórmula: En un gráfico velocidad-tiempo, la distancia recorrida corresponde al área bajo la curva. El área puede calcularse descomponiendo el trapecio en un rectángulo y un triángulo:
Área del rectángulo: $A_{\text{rect}} = v_0 \cdot t$
Área del triángulo: $A_{\text{tri}} = \frac{1}{2} \cdot (v - v_0) \cdot t$
Distancia total: $d = A_{\text{rect}} + A_{\text{tri}}$

Desarrollo: Descomponiendo el área bajo la curva:
Rectángulo: base = $t = 20$ s, altura = $v_0 = 10$ m/s
\[A_{\text{rect}} = 10 \cdot 20 = 200 \text{ m}\]
Triángulo: base = $t = 20$ s, altura = $v - v_0 = 50 - 10 = 40$ m/s
\[A_{\text{tri}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 800 = 400 \text{ m}\]
Distancia total:
\[d = 200 + 400 = 600 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia recorrida es $600$ m.

Construye la ecuación de movimiento de este cuerpo.

Datos: Del gráfico y problemas anteriores:
$v_0 = 10$ m/s
$a = 2$ m/s²
$x_0 = 0$ m (asumiendo posición inicial en el origen)

Fórmula: Ecuación de velocidad: $v = v_0 + a \cdot t$
Ecuación de posición: $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$

Desarrollo: Sustituyendo los valores obtenidos del gráfico:
Ecuación de velocidad:
\begin{align} v &= v_0 + a \cdot t \\ v &= 10 + 2t \end{align}
Ecuación de posición:
\begin{align} x &= x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \\ x &= 0 + 10t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 \\ x &= 10t + t^2 \end{align}

Respuesta: La ecuación de velocidad es $v = 10 + 2t$ (m/s) y la ecuación de posición es $x = 10t + t^2$ (m).

Determina la velocidad media de este movimiento.

Datos: Del gráfico y problemas anteriores:
$v_0 = 10$ m/s
$v = 50$ m/s
$t = 20$ s
$d = 600$ m (del problema anterior)

Fórmula: La velocidad media puede calcularse de dos formas equivalentes:
$\bar{v} = \frac{d}{t}$ (distancia total dividida por tiempo total)
$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$ (promedio de velocidades inicial y final)

Desarrollo: Verificando que ambos métodos son equivalentes:
Método 1: Distancia total dividida por tiempo total
\[\bar{v} = \frac{d}{t} = \frac{600}{20} = 30 \text{ m/s}\]
Método 2: Promedio de velocidades inicial y final
\[\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{10 + 50}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ m/s}\]
Ambos métodos dan el mismo resultado, confirmando que son equivalentes.

Respuesta: La velocidad media es $30$ m/s.

Determina la aceleración que experimenta el cuerpo.

Datos: Del gráfico velocidad-tiempo, se observa que:
Punto 1: $(t_1, v_1) = (0, 12)$ → $t_1 = 0$ s, $v_1 = 12$ m/s
Punto 2: $(t_2, v_2) = (2, 4)$ → $t_2 = 2$ s, $v_2 = 4$ m/s

Fórmula: En un gráfico velocidad-tiempo, la aceleración equivale a la pendiente de la recta:
$a = m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

Desarrollo: Seleccionando dos puntos del gráfico y calculando la pendiente:
\[a = m = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{4 - 12}{2 - 0} = \frac{-8}{2} = -4 \text{ m/s²}\]

Respuesta: La aceleración es $-4$ m/s² (el signo negativo indica que el cuerpo está frenando).

Determina la distancia recorrida por el cuerpo hasta detenerse.

Datos: Del gráfico velocidad-tiempo:
$v_0 = 12$ m/s (velocidad inicial)
$v = 0$ m/s (velocidad final cuando se detiene)
$a = -4$ m/s²

Fórmula: En un gráfico velocidad-tiempo, la distancia recorrida corresponde al área bajo la curva. Primero calculamos el tiempo hasta detenerse: $t = \frac{v - v_0}{a}$
Luego, el área bajo la curva es un triángulo: $d = \frac{1}{2} \cdot v_0 \cdot t$

Desarrollo: Calculando el tiempo hasta detenerse:
\[t = \frac{0 - 12}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3 \text{ s}\]
Calculando la distancia usando el área del triángulo (base = tiempo, altura = velocidad inicial):
\[d = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia recorrida hasta detenerse es $18$ m.

Escribe la ecuación de movimiento de este cuerpo.

Datos: Del gráfico y problemas anteriores:
$v_0 = 12$ m/s
$a = -4$ m/s²
$x_0 = 0$ m (asumiendo posición inicial en el origen)

Fórmula: Ecuación de velocidad: $v = v_0 + a \cdot t$
Ecuación de posición: $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$

Desarrollo: Sustituyendo los valores obtenidos del gráfico:
Ecuación de velocidad:
\begin{align} v &= v_0 + a \cdot t \\ v &= 12 + (-4) \cdot t \\ v &= 12 - 4t \end{align}
Ecuación de posición:
\begin{align} x &= x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \\ x &= 0 + 12t + \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot t^2 \\ x &= 12t - 2t^2 \end{align}

Respuesta: La ecuación de velocidad es $v = 12 - 4t$ (m/s) y la ecuación de posición es $x = 12t - 2t^2$ (m).

Determina la velocidad media del movimiento.

Datos: Del gráfico y problemas anteriores:
$v_0 = 12$ m/s
$v = 0$ m/s (velocidad final cuando se detiene)
$t = 3$ s (tiempo hasta detenerse, del problema anterior)
$d = 18$ m (distancia recorrida, del problema anterior)

Fórmula: La velocidad media puede calcularse de dos formas equivalentes:
$\bar{v} = \frac{d}{t}$ (distancia total dividida por tiempo total)
$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$ (promedio de velocidades inicial y final)

Desarrollo: Verificando que ambos métodos son equivalentes:
Método 1: Distancia total dividida por tiempo total
\[\bar{v} = \frac{d}{t} = \frac{18}{3} = 6 \text{ m/s}\]
Método 2: Promedio de velocidades inicial y final
\[\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{12 + 0}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ m/s}\]
Ambos métodos dan el mismo resultado, confirmando que son equivalentes.

Respuesta: La velocidad media es $6$ m/s.

Determina la distancia total recorrida por la persona.

Datos: Del gráfico de rapidez (|v|) vs tiempo, se observan dos trapecios:
Trapecio 1: Base mayor = 8 s, Base menor = 2 s, Altura = 4 m/s
Trapecio 2: Base mayor = 4 s, Base menor = 1 s, Altura = 2 m/s

Fórmula: La distancia total corresponde al área total bajo la curva del gráfico rapidez-tiempo.
Para un trapecio: $A = \frac{\text{base mayor} + \text{base menor}}{2} \times \text{altura}$ (semisuma de las bases por la altura)
Nota: Las bases están en segundos (eje horizontal) y la altura está en m/s (eje vertical), por lo que el área resulta en metros.

Desarrollo: Calculando el área de cada trapecio:
Trapecio 1:
\[A_1 = \frac{8 + 2}{2} \times 4 = \frac{10}{2} \times 4 = 5 \times 4 = 20 \text{ m}\]
Trapecio 2:
\[A_2 = \frac{4 + 1}{2} \times 2 = \frac{5}{2} \times 2 = 2.5 \times 2 = 5 \text{ m}\]
Distancia total:
\[d = A_1 + A_2 = 20 + 5 = 25 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia total recorrida es $25$ m.

Determina la velocidad media y la rapidez media durante los 12 segundos.

Datos: Del problema anterior y del gráfico de velocidad vs tiempo:
Distancia total: $d = 25$ m (del problema anterior)
Desplazamiento: $\Delta x = 25$ m (suma de las áreas positivas, ya que ambas áreas son positivas)
Tiempo total: $t = 12$ s

Fórmula: Rapidez media: $\bar{r} = \frac{d}{t}$
Velocidad media: $\bar{v} = \frac{\Delta x}{t}$

Desarrollo: Como el gráfico muestra velocidad vs tiempo y ambas áreas son positivas, el cuerpo solo avanza (nunca retrocede). En este caso, la distancia total es igual al desplazamiento, por lo que rapidez y velocidad son iguales.
Rapidez media:
\[\bar{r} = \frac{d}{t} = \frac{25}{12} = 2.08 \text{ m/s}\]
Velocidad media:
\[\bar{v} = \frac{\Delta x}{t} = \frac{25}{12} = 2.08 \text{ m/s}\]
Como ambas áreas son positivas, el cuerpo solo avanza, por lo tanto: $\bar{r} = \bar{v} = 2.08$ m/s

Respuesta: La rapidez media es $2.08$ m/s y la velocidad media es $2.08$ m/s. Son iguales porque el cuerpo solo avanza (todas las áreas son positivas).

Determina la distancia total recorrida por la persona.

Datos: Del gráfico de velocidad vs tiempo, se observan dos trapecios:
Trapecio 1: Base mayor = 8 s, Base menor = 2 s, Altura = 4 m/s (positiva)
Trapecio 2: Base mayor = 4 s, Base menor = 1 s, Altura = 2 m/s (negativa)

Fórmula: La distancia total corresponde a la suma de las áreas (en valor absoluto) bajo la curva.
Para un trapecio: $A = \frac{\text{base mayor} + \text{base menor}}{2} \times \text{altura}$ (semisuma de las bases por la altura)
Nota: Las bases están en segundos (eje horizontal) y la altura está en m/s (eje vertical), por lo que el área resulta en metros.

Desarrollo: Calculando el área de cada trapecio (en valor absoluto para la distancia):
Trapecio 1 (área positiva):
\[A_1 = \frac{8 + 2}{2} \times 4 = \frac{10}{2} \times 4 = 5 \times 4 = 20 \text{ m}\]
Trapecio 2 (área negativa, tomamos valor absoluto):
\[|A_2| = \left|\frac{4 + 1}{2} \times (-2)\right| = \left|\frac{5}{2} \times (-2)\right| = |2.5 \times (-2)| = |-5| = 5 \text{ m}\]
Distancia total:
\[d = |A_1| + |A_2| = 20 + 5 = 25 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia total recorrida es $25$ m.

Determina el desplazamiento realizado por la persona durante los 12 segundos.

Datos: Del gráfico de velocidad vs tiempo y del problema anterior:
Trapecio 1: Base mayor = 8 s, Base menor = 2 s, Altura = 4 m/s (positiva)
Trapecio 2: Base mayor = 4 s, Base menor = 1 s, Altura = 2 m/s (negativa)

Fórmula: El desplazamiento corresponde a la suma algebraica de las áreas bajo la curva (áreas positivas menos áreas negativas).
Para un trapecio: $A = \frac{\text{base mayor} + \text{base menor}}{2} \times \text{altura}$ (semisuma de las bases por la altura)
Nota: Las bases están en segundos (eje horizontal) y la altura está en m/s (eje vertical), por lo que el área resulta en metros.

Desarrollo: Calculando el área de cada trapecio (conservando el signo para el desplazamiento):
Trapecio 1 (área positiva):
\[A_1 = \frac{8 + 2}{2} \times 4 = \frac{10}{2} \times 4 = 5 \times 4 = 20 \text{ m}\]
Trapecio 2 (área negativa):
\[A_2 = \frac{4 + 1}{2} \times (-2) = \frac{5}{2} \times (-2) = 2.5 \times (-2) = -5 \text{ m}\]
Desplazamiento total:
\[\Delta x = A_1 + A_2 = 20 + (-5) = 20 - 5 = 15 \text{ m}\]

Respuesta: El desplazamiento realizado es $15$ m en la dirección positiva.

Determina la rapidez media y la velocidad media durante los 12 segundos.

Datos: Del gráfico de velocidad vs tiempo y de los problemas anteriores:
Distancia total: $d = 25$ m (del problema 4a)
Desplazamiento: $\Delta x = 15$ m (del problema 4b)
Tiempo total: $t = 12$ s

Fórmula: Rapidez media: $\bar{r} = \frac{d}{t}$
Velocidad media: $\bar{v} = \frac{\Delta x}{t}$

Desarrollo: Como el gráfico muestra velocidad vs tiempo y hay áreas positivas y negativas, el cuerpo avanza y retrocede. En este caso, la distancia total es diferente del desplazamiento, por lo que rapidez y velocidad son diferentes.
Rapidez media:
\[\bar{r} = \frac{d}{t} = \frac{25}{12} = 2.08 \text{ m/s}\]
Velocidad media:
\[\bar{v} = \frac{\Delta x}{t} = \frac{15}{12} = 1.25 \text{ m/s}\]
Como hay áreas positivas y negativas, el cuerpo avanza y retrocede, por lo tanto: $\bar{r} \neq \bar{v}$
La rapidez media ($2.08$ m/s) es mayor que la velocidad media ($1.25$ m/s) porque la distancia total ($25$ m) es mayor que el desplazamiento ($15$ m).

Respuesta: La rapidez media es $2.08$ m/s y la velocidad media es $1.25$ m/s. Son diferentes porque el cuerpo avanza y retrocede (hay áreas positivas y negativas).

¿Cuál es su posición en ese instante?

Datos: $v_0 = 0$ m/s (se deja caer), $t = 5$ s, $g = 10$ m/s², $y_0 = 0$ m (origen en el punto de lanzamiento)

Fórmula: $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Desarrollo:
\[y = 0 + 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2\]
\[y = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\]
\[y = 125 \text{ m}\]
Como el origen está en el punto de lanzamiento y el movimiento es hacia abajo, la posición es negativa: $y = -125$ m

Respuesta: Su posición es $-125$ m (125 m por debajo del punto de lanzamiento).

¿Cuál es su velocidad en ese instante?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 5$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 0 + 10 \cdot 5\]
\[v = 50 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo, la velocidad es negativa: $v = -50$ m/s

Respuesta: Su velocidad es $-50$ m/s (50 m/s hacia abajo).

¿Qué distancia ha caído luego de 2 segundos y qué velocidad lleva en ese instante?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 2$ s, $g = 10$ m/s², $y_0 = 0$ m

Fórmula: Distancia: $d = |y - y_0|$ donde $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Velocidad: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
Distancia:
\[y = 0 + 0 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ m}\]
\[d = |y - y_0| = |-20 - 0| = 20 \text{ m}\]
Velocidad:
\[v = 0 + 10 \cdot 2 = 20 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -20$ m/s

Respuesta: La distancia que ha caído es $20$ m y su velocidad es $-20$ m/s (20 m/s hacia abajo).

¿Cuál es la altura del edificio?

Datos: $v_0 = 0$ m/s (se deja caer), $t = 1.7$ s, $g = 10$ m/s², $y_0 = 0$ m (origen en la parte superior del edificio)

Fórmula: $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Desarrollo:
\[y = 0 + 0 \cdot 1.7 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (1.7)^2\]
\[y = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2.89\]
\[y = 5 \cdot 2.89 = 14.45 \text{ m}\]
La altura del edificio es: $h = |y - y_0| = |-14.45 - 0| = 14.45$ m

Respuesta: La altura del edificio es $14.45$ m (aproximadamente 5 pisos, considerando que cada piso tiene aproximadamente 3 m de altura).

¿Con qué velocidad llega al suelo?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 1.7$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 0 + 10 \cdot 1.7\]
\[v = 17 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -17$ m/s

Respuesta: Llega al suelo con una velocidad de $-17$ m/s (17 m/s hacia abajo).

El tiempo de vuelo.

Datos: $v_0 = 0$ m/s (se deja caer), $v = -50$ m/s (velocidad al llegar al suelo, negativa porque es hacia abajo), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$
Despeje: $t = \frac{v - v_0}{g}$

Desarrollo:
\[t = \frac{-50 - 0}{10} = \frac{-50}{10} = 5 \text{ s}\]
El tiempo de vuelo es el valor absoluto: $t = 5$ s

Respuesta: El tiempo de vuelo es $5$ s.

La altura desde la cual se dejó caer.

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $v = -50$ m/s, $g = 10$ m/s², $t = 5$ s (del problema anterior), $y_0 = 0$ m

Fórmula: $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
O también: $v^2 = v_0^2 + 2g(y - y_0)$

Desarrollo: Usando la fórmula de posición:
\[y = 0 + 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2\]
\[y = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\]
\[y = 125 \text{ m}\]
La altura desde la cual se dejó caer es: $h = |y - y_0| = |-125 - 0| = 125$ m

Respuesta: La altura desde la cual se dejó caer es $125$ m.

¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

Datos: $v_0 = 0$ m/s (se deja caer), $y_0 = 0$ m, $y = -80$ m (80 m por debajo del origen), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Despeje: $t = \sqrt{\frac{2(y - y_0)}{g}}$ (ya que $v_0 = 0$)

Desarrollo:
\[-80 = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]
\[-80 = 5t^2\]
\[t^2 = \frac{80}{5} = 16\]
\[t = \sqrt{16} = 4 \text{ s}\]

Respuesta: Tarda $4$ s en llegar al suelo.

¿Con qué velocidad llega?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 4$ s (del problema anterior), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 0 + 10 \cdot 4\]
\[v = 40 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -40$ m/s

Respuesta: Llega con una velocidad de $-40$ m/s (40 m/s hacia abajo).

¿Cuál será su posición y la distancia recorrida después de 3 segundos de ser soltado?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 3$ s, $g = 10$ m/s², $y_0 = 0$ m

Fórmula: $y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Distancia: $d = |y - y_0|$

Desarrollo:
Posición:
\[y = 0 + 0 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3^2\]
\[y = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9\]
\[y = 45 \text{ m}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $y = -45$ m
Distancia recorrida:
\[d = |y - y_0| = |-45 - 0| = 45 \text{ m}\]

Respuesta: Su posición es $-45$ m y la distancia recorrida es $45$ m.

¿Qué velocidad tiene en ese instante (después de 3 segundos)?

Datos: $v_0 = 0$ m/s, $t = 3$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 0 + 10 \cdot 3\]
\[v = 30 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -30$ m/s

Respuesta: Su velocidad es $-30$ m/s (30 m/s hacia abajo).

La aceleración con que cae.

Datos: Movimiento de caída libre

Fórmula: En caída libre, la aceleración es constante e igual a la aceleración de gravedad.

Desarrollo: En cualquier movimiento de caída libre, la aceleración es $g = 10$ m/s² hacia abajo.

Respuesta: La aceleración con que cae es $10$ m/s² hacia abajo.

La distancia que recorre hasta tocar el suelo.

Datos: $v_0 = 20$ m/s (hacia abajo, considerando magnitud), $t = 4$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Desarrollo:
\[d = 20 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2\]
\[d = 80 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16\]
\[d = 80 + 80 = 160 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia que recorre hasta tocar el suelo es $160$ m.

La velocidad con que llega al fondo.

Datos: $v_0 = 20$ m/s (hacia abajo, considerando magnitud), $t = 4$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 20 + 10 \cdot 4\]
\[v = 20 + 40 = 60 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -60$ m/s

Respuesta: Llega al fondo con una velocidad de $-60$ m/s (60 m/s hacia abajo).

La velocidad con que fue lanzado.

Datos: $d = 80$ m, $t = 2$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Despeje: $v_0 = \frac{d - \frac{1}{2} g \cdot t^2}{t}$

Desarrollo:
\[v_0 = \frac{80 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2}{2}\]
\[v_0 = \frac{80 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4}{2}\]
\[v_0 = \frac{80 - 20}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ m/s}\]

Respuesta: La velocidad con que fue lanzado es $30$ m/s hacia abajo.

El tiempo que tardaría en caer si lo hubiesen soltado.

Datos: Del problema anterior, la altura desde la cual se lanzó. Si en 2s recorre 80m con $v_0 = 30$ m/s, entonces:
$d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 = 30 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 60 + 20 = 80$ m ✓
Si se hubiera soltado ($v_0 = 0$), desde la misma altura $h$:
$h = \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Primero calculamos $h$ desde donde se lanzó. Si el origen está en el punto de lanzamiento y el suelo está a 80m abajo:
$h = 80$ m (altura desde donde se lanzó)
Si se suelta desde $h = 80$ m con $v_0 = 0$:
$h = \frac{1}{2} g \cdot t^2$
$80 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$80 = 5t^2$
$t^2 = 16$
$t = 4$ s

Respuesta: Si lo hubiesen soltado, tardaría $4$ s en caer.

¿Con qué rapidez golpeará el suelo?

Datos: $v_0 = 5$ m/s (hacia abajo), $h = 100$ m, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v^2 = v_0^2 + 2g \cdot h$
Despeje: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

Desarrollo:
\[v = \sqrt{5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 100}\]
\[v = \sqrt{25 + 2000}\]
\[v = \sqrt{2025} = 45 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -45$ m/s
La rapidez (magnitud) es: $|v| = 45$ m/s

Respuesta: Golpeará el suelo con una rapidez de $45$ m/s.

¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

Datos: $v_0 = 5$ m/s (hacia abajo), $h = 100$ m, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Reordenando: $\frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t - h = 0$

Desarrollo:
\[\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 + 5 \cdot t - 100 = 0\]
\[5t^2 + 5t - 100 = 0\]
Dividiendo por 5: $t^2 + t - 20 = 0$
Usando la fórmula cuadrática: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}\]
$t_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$ s (solución válida)
$t_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$ s (no válida)

Respuesta: Tarda $4$ s en llegar al suelo.

La máxima altura que alcanza.

Datos: $v_0 = 72$ km/h, $g = 10$ m/s²
Conversión: $v_0 = 72 \div 3.6 = 20$ m/s (hacia arriba)

Fórmula: En el punto más alto, $v = 0$. Usando: $v^2 = v_0^2 + 2g(y - y_0)$
Con $y_0 = 0$ y $v = 0$: $0 = v_0^2 + 2(-g)h$ (g es negativa hacia arriba)
$h = \frac{v_0^2}{2g}$

Desarrollo:
\[h = \frac{20^2}{2 \cdot 10} = \frac{400}{20} = 20 \text{ m}\]

Respuesta: La máxima altura que alcanza es $20$ m.

El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.

Datos: $v_0 = 20$ m/s (hacia arriba), $v = 0$ m/s (en la altura máxima), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 - g \cdot t$ (g es positiva, pero se resta porque frena el movimiento hacia arriba)
Despeje: $t = \frac{v_0 - v}{g}$

Desarrollo:
\[t = \frac{20 - 0}{10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ s}\]

Respuesta: Tarda $2$ s en alcanzar la altura máxima.

El tiempo de vuelo.

Datos: $v_0 = 20$ m/s (hacia arriba), $g = 10$ m/s²

Fórmula: El tiempo de vuelo es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima, ya que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

Desarrollo: Del problema anterior, el tiempo para alcanzar la altura máxima es $t_{\text{subida}} = 2$ s
\[t_{\text{vuelo}} = 2 \cdot t_{\text{subida}} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ s}\]

Respuesta: El tiempo de vuelo es $4$ s.

La distancia total recorrida.

Datos: $v_0 = 20$ m/s, $h = 20$ m (del problema 8a), $t_{\text{vuelo}} = 4$ s

Fórmula: La distancia total es la suma de la distancia de subida más la distancia de bajada.

Desarrollo: El objeto sube 20 m y luego baja 20 m:
\[d_{\text{total}} = 20 + 20 = 40 \text{ m}\]

Respuesta: La distancia total recorrida es $40$ m.

El desplazamiento total realizado.

Datos: $y_0 = 0$ m (punto de lanzamiento), $y_f = 0$ m (regresa al punto de lanzamiento)

Fórmula: $\Delta x = y_f - y_0$

Desarrollo:
\[\Delta x = 0 - 0 = 0 \text{ m}\]
Como el objeto regresa al punto de lanzamiento, el desplazamiento total es cero.

Respuesta: El desplazamiento total realizado es $0$ m.

La rapidez media.

Datos: $d = 40$ m (del problema 8d), $t = 4$ s (del problema 8c)

Fórmula: $\bar{r} = \frac{d}{t}$

Desarrollo:
\[\bar{r} = \frac{40}{4} = 10 \text{ m/s}\]

Respuesta: La rapidez media es $10$ m/s.

La velocidad media.

Datos: $\Delta x = 0$ m (del problema 8e), $t = 4$ s

Fórmula: $\bar{v} = \frac{\Delta x}{t}$

Desarrollo:
\[\bar{v} = \frac{0}{4} = 0 \text{ m/s}\]
Como el desplazamiento total es cero (el objeto regresa al punto de lanzamiento), la velocidad media es cero.

Respuesta: La velocidad media es $0$ m/s.

Pregunta: Dos paracaidistas se dejan caer libremente desde 4.000 metros de altura y abren su paracaídas a 2.000 metros, determine la rapidez de los paracaidistas justo en el momento en que abren los paracaídas.

Desarrollo:
Datos: $h = 2000$ m (distancia de caída), $v_0 = 0$ m/s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v^2 = v_0^2 + 2gh$

Desarrollo:
\[v^2 = 0^2 + 2 \cdot 10 \cdot 2000 = 40000\]
\[v = \sqrt{40000} = 200 \text{ m/s}\]

Respuesta: La rapidez es $200$ m/s.

Pregunta: Respecto al ejercicio anterior, determine el tiempo de caída libre.

Desarrollo:
Datos: $h = 2000$ m, $v_0 = 0$ m/s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Como $v_0 = 0$: $h = \frac{1}{2} g \cdot t^2$
Despeje: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Desarrollo:
\[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2000}{10}} = \sqrt{\frac{4000}{10}} = \sqrt{400} = 20 \text{ s}\]

Respuesta: El tiempo de caída libre es $20$ s.

Pregunta: Por error, en un barco muy antiguo se ha disparado una bala de cañón verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50 (m/s). ¿Cuánto tiempo tienen para abandonar el barco?

Desarrollo:
Datos: $v_0 = 50$ m/s (hacia arriba), $g = 10$ m/s²

Fórmula: El tiempo de vuelo es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima.
Para alcanzar la altura máxima: $v = v_0 - g \cdot t$, con $v = 0$
$t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g}$
$t_{\text{vuelo}} = 2 \cdot t_{\text{subida}}$

Desarrollo:
\[t_{\text{subida}} = \frac{50}{10} = 5 \text{ s}\]
\[t_{\text{vuelo}} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ s}\]

Respuesta: Tienen $10$ s para abandonar el barco.

Pregunta: La altura que alcanza la bala es

Desarrollo:
Datos: $v_0 = 50$ m/s (hacia arriba), $v = 0$ m/s (en la altura máxima), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v^2 = v_0^2 - 2gh$ (g es positiva, pero se resta porque frena el movimiento)
Con $v = 0$: $0 = v_0^2 - 2gh$
$h = \frac{v_0^2}{2g}$

Desarrollo:
\[h = \frac{50^2}{2 \cdot 10} = \frac{2500}{20} = 125 \text{ m}\]

Respuesta: La altura que alcanza la bala es $125$ m.

Pregunta: ¿Con qué rapidez vuelve la bala al barco?

Desarrollo:
Datos: $v_0 = 50$ m/s (hacia arriba), $g = 10$ m/s²

Fórmula: Por simetría del movimiento, la rapidez con que vuelve al punto de lanzamiento es igual a la rapidez inicial (en magnitud).

Desarrollo: La bala sube con $50$ m/s y baja con la misma rapidez al regresar al punto de lanzamiento: $|v| = 50$ m/s

Respuesta: La bala vuelve al barco con una rapidez de $50$ m/s.

Pregunta: Si un objeto es lanzado hacia arriba, entonces, mientras está en el aire, la aceleración

Desarrollo: En cualquier movimiento de caída libre o lanzamiento vertical, la aceleración de gravedad siempre está dirigida hacia abajo, independientemente de si el objeto sube o baja. La aceleración de gravedad es constante ($g = 10$ m/s² hacia abajo) durante todo el movimiento.

Respuesta: La aceleración está siempre dirigida hacia abajo.

Pregunta: Un niño le regala un trozo de sandía a un amigo, lanzándola desde su departamento a 3 (m/s) hacia abajo. Si su amigo tarda 2 (s) en recibirla. ¿A qué altura está el amigo en el departamento?

Desarrollo:
Datos: $v_0 = 3$ m/s (hacia abajo), $t = 2$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Desarrollo:
\[h = 3 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2\]
\[h = 6 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\]
\[h = 6 + 20 = 26 \text{ m}\]

Respuesta: El amigo está a una altura de $26$ m.

Pregunta: ¿Cuál es la rapidez con que el amigo recibe el trozo de sandía?

Desarrollo:
Datos: $v_0 = 3$ m/s (hacia abajo), $t = 2$ s, $g = 10$ m/s²

Fórmula: $v = v_0 + g \cdot t$

Desarrollo:
\[v = 3 + 10 \cdot 2\]
\[v = 3 + 20 = 23 \text{ m/s}\]
Como el movimiento es hacia abajo: $v = -23$ m/s
La rapidez (magnitud) es: $|v| = 23$ m/s

Respuesta: El amigo recibe el trozo de sandía con una rapidez de $23$ m/s.

Pregunta: Dos cuerpos A y B de masas m_A = ½ m_B son lanzados verticalmente hacia arriba simultáneamente, con igual velocidad inicial a partir del suelo en una región donde la aceleración de gravedad es constante. Despreciando la resistencia del aire, podemos afirmar que

Desarrollo: En caída libre, la masa no afecta el movimiento. Las ecuaciones del movimiento dependen solo de la velocidad inicial, la aceleración de gravedad y el tiempo. Como ambos cuerpos tienen la misma velocidad inicial y están en la misma región (misma $g$), ambos alcanzan la misma altura máxima y tienen el mismo tiempo de vuelo, independientemente de sus masas.

Respuesta: A alcanza una altura igual que B y llega al suelo al mismo tiempo que B.

Pregunta: Un jugador de fútbol golpea una pelota la cual se eleva y luego cae en un determinado punto de la cancha. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta con respecto a la aceleración de la pelota durante el vuelo?

Desarrollo: Durante todo el movimiento de la pelota (subida y bajada), la única fuerza que actúa es la gravedad (despreciando la resistencia del aire). Por lo tanto, la aceleración es constante e igual a la aceleración de gravedad ($g = 10$ m/s² hacia abajo) durante todo el trayecto, independientemente de si la pelota sube o baja.

Respuesta: Es la misma durante todo el trayecto.

Pregunta: En el movimiento de caída libre

Desarrollo: En el movimiento de caída libre, la aceleración de gravedad es constante ($g = 10$ m/s² hacia abajo). La rapidez NO es constante (aumenta con el tiempo), la aceleración NO aumenta (es constante), la rapidez final depende de la altura y el tiempo, y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo ($d = \frac{1}{2}gt^2$), no al tiempo.

Respuesta: La aceleración es constante.

Pregunta: En los lanzamientos verticales, si la rapidez con que un cuerpo es lanzado hacia arriba se duplica, debe esperarse que la altura que alcance dicho cuerpo se

Desarrollo:
Datos: $v_0$ (velocidad inicial original), $v_0' = 2v_0$ (velocidad inicial duplicada), $g = 10$ m/s²

Fórmula: $h = \frac{v_0^2}{2g}$

Desarrollo: Si la velocidad inicial se duplica:
\[h' = \frac{(2v_0)^2}{2g} = \frac{4v_0^2}{2g} = 4 \cdot \frac{v_0^2}{2g} = 4h\]
Por lo tanto, la altura se cuadruplica.

Respuesta: La altura se cuadruplica.